Giúp mình giải đề này với

Câu 1: Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\), ta cần xác định vectơ chỉ phương từ phương trình tham số của đường thẳng. Đường thẳng \((d)\) có phương trình: \[ \frac{x-3}{4} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z-1}{2} \] Phương trình này cho ta biết rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\) là \(\overrightarrow{v} = (4, -5, 2)\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\): - \(\textcircled{A}~\overrightarrow{v_1} = (3, -2, 1)\): Không phải vì không khớp với \((4, -5, 2)\). - \(B.~\overrightarrow{v_0} = (4, 5, 2)\): Không phải vì dấu của thành phần \(y\) không khớp. - \(C.~\overrightarrow{v_6} = (4, -5, 2)\): Đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\) vì nó khớp hoàn toàn với \((4, -5, 2)\). - \(D.~\overrightarrow{v_4} = (3, 2, 1)\): Không phải vì không khớp với \((4, -5, 2)\). Vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\) là \(\overrightarrow{v_6} = (4, -5, 2)\). Đáp án đúng là \(C\). Câu 2: Nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 \) là một hàm số \( F(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Ta biết rằng nguyên hàm của \( x^n \) là \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) với \( n \neq -1 \). Áp dụng công thức này cho \( f(x) = x^2 \): \[ F(x) = \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 \) là: \[ \frac{x^3}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{1}{3}x^3 + C \] Câu 3: Để tìm diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y = 2x - 3 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cắt với trục hoành: - Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta giải phương trình: \[ 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] - Vậy đồ thị cắt trục hoành tại điểm \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \). 2. Xác định khoảng tích phân: - Ta cần tính diện tích giữa đồ thị và trục hoành từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \). - Trên khoảng này, hàm số \( y = 2x - 3 \) có thể âm hoặc dương. Ta cần xác định dấu của hàm số trên từng đoạn: - Tại \( x = 1 \), \( y = 2(1) - 3 = -1 \) (âm). - Tại \( x = 2 \), \( y = 2(2) - 3 = 1 \) (dương). 3. Tính diện tích: - Vì hàm số đổi dấu tại \( x = \frac{3}{2} \), ta chia khoảng tích phân thành hai đoạn: từ \( x = 1 \) đến \( x = \frac{3}{2} \) và từ \( x = \frac{3}{2} \) đến \( x = 2 \). - Diện tích \( S \) được tính bằng: \[ S = \int_{1}^{\frac{3}{2}} |2x - 3| \, dx + \int_{\frac{3}{2}}^{2} |2x - 3| \, dx \] - Trên đoạn \( [1, \frac{3}{2}] \), \( 2x - 3 \) là âm, nên \( |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x \). - Trên đoạn \( [\frac{3}{2}, 2] \), \( 2x - 3 \) là dương, nên \( |2x - 3| = 2x - 3 \). 4. Tính tích phân: - Tính tích phân trên đoạn \( [1, \frac{3}{2}] \): \[ \int_{1}^{\frac{3}{2}} (3 - 2x) \, dx = \left[ 3x - x^2 \right]_{1}^{\frac{3}{2}} = \left(3 \cdot \frac{3}{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) - (3 \cdot 1 - 1^2) \] \[ = \left(\frac{9}{2} - \frac{9}{4}\right) - (3 - 1) = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - 2 = \frac{1}{4} \] - Tính tích phân trên đoạn \( [\frac{3}{2}, 2] \): \[ \int_{\frac{3}{2}}^{2} (2x - 3) \, dx = \left[ x^2 - 3x \right]_{\frac{3}{2}}^{2} = \left(2^2 - 3 \cdot 2\right) - \left(\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2}\right) \] \[ = (4 - 6) - \left(\frac{9}{4} - \frac{9}{2}\right) = -2 - \left(\frac{9}{4} - \frac{18}{4}\right) = -2 + \frac{9}{4} = -2 + \frac{9}{4} = \frac{1}{4} \] 5. Tổng diện tích: - Tổng diện tích \( S \) là: \[ S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] Vậy diện tích của hình phẳng là \( \frac{1}{2} \). Do đó, đáp án đúng là không có trong các lựa chọn A, B, C, D đã cho. Câu 4: Phương trình đã cho tương đương với: $ \begin{array}{c} \sin x=n\pi,~n\in \mathbb{Z}. \end{array} $ Do \(-1\leq \sin x\leq 1\) nên \(n=0\). Khi đó ta có \(\sin x=0\). Vậy phương trình có nghiệm \(x=k\pi,~k\in \mathbb{Z}\). Đáp án đúng là D. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng một cấp số cộng có dạng tổng quát như sau: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là công sai, - \( n \) là số thứ tự của số hạng, - \( u_n \) là số hạng thứ \( n \). Theo đề bài, ta có: - \( u_1 = 4 \), - \( d = -3 \). Giả sử \( x \) là số hạng thứ \( n \) trong cấp số cộng này. Ta có: \[ x = u_n = u_1 + (n-1)d \] Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: \[ x = 4 + (n-1)(-3) \] \[ x = 4 - 3(n-1) \] \[ x = 4 - 3n + 3 \] \[ x = 7 - 3n \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các đáp án để tìm ra giá trị đúng của \( x \): A. \( x = -8 \) \[ -8 = 7 - 3n \] \[ -8 - 7 = -3n \] \[ -15 = -3n \] \[ n = 5 \] B. \( x = -11 \) \[ -11 = 7 - 3n \] \[ -11 - 7 = -3n \] \[ -18 = -3n \] \[ n = 6 \] C. \( x = 16 \) \[ 16 = 7 - 3n \] \[ 16 - 7 = -3n \] \[ 9 = -3n \] \[ n = -3 \] (không hợp lý vì \( n \) phải là số dương) D. \( x = 19 \) \[ 19 = 7 - 3n \] \[ 19 - 7 = -3n \] \[ 12 = -3n \] \[ n = -4 \] (không hợp lý vì \( n \) phải là số dương) Như vậy, chỉ có đáp án A và B là hợp lý. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, ta cần chọn một giá trị duy nhất. Vì vậy, ta chọn đáp án A. Đáp án: A. -8. Câu 6: Để xác định đường thẳng \(AB\) song song với mặt phẳng nào, ta cần xem xét các đặc điểm của hình hộp. 1. Xét đường thẳng \(AB\): - \(AB\) là một cạnh của đáy hình hộp \(ABCD\). 2. Xét các mặt phẳng: - Mặt phẳng \((A^0D^\prime D)\): - Mặt phẳng này chứa đường thẳng \(DD'\) và \(A^0D'\), không chứa đường thẳng nào song song với \(AB\). - Mặt phẳng \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\): - Đây là mặt phẳng trên của hình hộp, song song với mặt phẳng đáy \(ABCD\). Do đó, \(AB\) song song với mặt phẳng này. - Mặt phẳng \((BB^\prime C^\prime C)\): - Mặt phẳng này chứa đường thẳng \(BB'\) và \(BC\), không chứa đường thẳng nào song song với \(AB\). - Mặt phẳng \((CC^\prime A^\prime A)\): - Mặt phẳng này chứa đường thẳng \(CC'\) và \(CA\), không chứa đường thẳng nào song song với \(AB\). 3. Kết luận: - Đường thẳng \(AB\) song song với mặt phẳng \((A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\). Vậy, đáp án đúng là \(B.~(A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime)\). Câu 7: Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $A(2;1;-4)$ và nhận $\overrightarrow{B} = (3;2;-1)$ làm một vectơ pháp tuyến, ta sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm mà mặt phẳng đi qua. Với bài toán này, ta có: - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{B} = (3, 2, -1)$, do đó $a = 3$, $b = 2$, $c = -1$. - Điểm $A(2, 1, -4)$, do đó $x_0 = 2$, $y_0 = 1$, $z_0 = -4$. Thay các giá trị này vào công thức phương trình mặt phẳng, ta được: \[ 3(x - 2) + 2(y - 1) - 1(z + 4) = 0 \] Khai triển phương trình trên: \[ 3x - 6 + 2y - 2 - z - 4 = 0 \] Rút gọn: \[ 3x + 2y - z - 12 = 0 \] So sánh với các đáp án đã cho: - Đáp án A: $3(x+2) + 2(y+1) - (z-4) = 0$ không đúng. - Đáp án B: $3(x-2) + 2(y-1) - (z+4) = 0$ đúng với phương trình đã tìm được. - Đáp án C và D không khớp với phương trình đã tìm được. Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \[ 3(x-2) + 2(y-1) - (z+4) = 0 \] Đáp án đúng là $\textcircled{B}$. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán các đại lượng thống kê cơ bản như trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn. Chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tính trung bình cộng (số trung bình): - Trước tiên, chúng ta cần tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm. Giá trị đại diện thường là trung điểm của khoảng. - Sau đó, nhân giá trị đại diện với tần số tương ứng và cộng tất cả lại. - Cuối cùng, chia tổng này cho tổng số liệu. 2. Tính phương sai: - Phương sai là trung bình cộng của bình phương các偏差 từ trung bình cộng. - Đầu tiên, tính偏差 của mỗi giá trị đại diện so với trung bình cộng. - Bình phương các偏差 này. - Nhân mỗi bình phương偏差 với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả này lại và chia cho tổng số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn: - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước cụ thể: Bước 1: Tính trung bình cộng - Giá trị đại diện cho mỗi nhóm: - [0;40): 20 - [40;80): 60 - [80;120): 100 - [120;160): 140 - [160;200): 180 - [200;240): 220 - Tổng số liệu: \(11 + 10 + 6 + 8 + 4 + 1 = 40\) - Tính trung bình cộng: \[ \text{Trung bình} = \frac{(20 \times 11) + (60 \times 10) + (100 \times 6) + (140 \times 8) + (180 \times 4) + (220 \times 1)}{40} \] \[ = \frac{220 + 600 + 600 + 1120 + 720 + 220}{40} \] \[ = \frac{3480}{40} = 87 \] Bước 2: Tính phương sai - Tính偏差 của mỗi giá trị đại diện so với trung bình cộng: - [0;40): \(20 - 87 = -67\) - [40;80): \(60 - 87 = -27\) - [80;120): \(100 - 87 = 13\) - [120;160): \(140 - 87 = 53\) - [160;200): \(180 - 87 = 93\) - [200;240): \(220 - 87 = 133\) - Bình phương các偏差 này: - [0;40): \((-67)^2 = 4489\) - [40;80): \((-27)^2 = 729\) - [80;120): \(13^2 = 169\) - [120;160): \(53^2 = 2809\) - [160;200): \(93^2 = 8649\) - [200;240): \(133^2 = 17689\) - Nhân mỗi bình phương偏差 với tần số tương ứng: - [0;40): \(4489 \times 11 = 49379\) - [40;80): \(729 \times 10 = 7290\) - [80;120): \(169 \times 6 = 1014\) - [120;160): \(2809 \times 8 = 22472\) - [160;200): \(8649 \times 4 = 34596\) - [200;240): \(17689 \times 1 = 17689\) - Cộng tất cả các kết quả này lại và chia cho tổng số liệu: \[ \text{Phương sai} = \frac{49379 + 7290 + 1014 + 22472 + 34596 + 17689}{40} \] \[ = \frac{132440}{40} = 3311 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ \text{Độ lệch chuẩn} = \sqrt{3311} \approx 57.54 \] Vậy, trung bình cộng là 87 giây, phương sai là 3311, và độ lệch chuẩn là khoảng 57.54 giây.