37. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng a) mp(BDA') // mp(B'D'C) ; b) Đường chéo AC' đi qua các trọng tâm G1, G2 của hai tam giác BDA và B'D'C ; c) G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nha...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán. a) Chứng minh mp(BDA') // mp(B'D'C): Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta cần chứng minh rằng chúng không có điểm chung và các đường thẳng tương ứng của chúng song song với nhau. - Xét hai đường thẳng BD và B'D' trong hai mặt phẳng. Do B, D, B', D' là các đỉnh của hình hộp, nên BD // B'D'. - Tương tự, ta có DA' // D'C vì A', C là các đỉnh đối diện của hình hộp. Vì hai đường thẳng BD và DA' trong mp(BDA') lần lượt song song với hai đường thẳng B'D' và D'C trong mp(B'D'C), nên hai mặt phẳng này song song với nhau. b) Chứng minh đường chéo AC' đi qua các trọng tâm G1, G2 của hai tam giác BDA và B'D'C: - Trọng tâm G1 của tam giác BDA là điểm thỏa mãn: \(\overrightarrow{G_1} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} + \overrightarrow{A})\). - Trọng tâm G2 của tam giác B'D'C là điểm thỏa mãn: \(\overrightarrow{G_2} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B'} + \overrightarrow{D'} + \overrightarrow{C})\). Đường chéo AC' có phương trình tham số: \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{A} + t(\overrightarrow{C'} - \overrightarrow{A})\). Ta cần chứng minh rằng \(\overrightarrow{G_1}\) và \(\overrightarrow{G_2}\) nằm trên đường thẳng này, tức là tồn tại \(t_1, t_2\) sao cho: - \(\overrightarrow{G_1} = \overrightarrow{A} + t_1(\overrightarrow{C'} - \overrightarrow{A})\) - \(\overrightarrow{G_2} = \overrightarrow{A} + t_2(\overrightarrow{C'} - \overrightarrow{A})\) Do đó, G1 và G2 nằm trên đường chéo AC'. c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau: Từ phần b), ta đã có: - \(\overrightarrow{G_1} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} + \overrightarrow{A})\) - \(\overrightarrow{G_2} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B'} + \overrightarrow{D'} + \overrightarrow{C})\) Do đó, G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau vì: - Đoạn AG1 = G1G2 = G2C' = \(\frac{1}{3}\) độ dài của đoạn AC'. d) Chứng minh các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B cùng nằm trên một mặt phẳng: Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B. - Do M, N, P, Q, R, S là trung điểm của các cạnh của hình hộp, nên chúng tạo thành một hình lục giác đều. - Mặt phẳng chứa các điểm này là mặt phẳng trung bình của hình hộp, được xác định bởi các trung điểm của các cạnh nối các đỉnh đối diện. Vì vậy, các trung điểm M, N, P, Q, R, S cùng nằm trên một mặt phẳng.