Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Kẻ 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Trên đường cao AD lấy điểm I sao cho Bị vuông góc với IC. a) Tính độ dài đoạn thắng Bị và Di biết BD = 4 cm và CD =...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Tính độ dài đoạn thẳng BI và DI biết BD = 4 cm và CD = 9 cm. Vì tam giác ABC có ba góc nhọn và AD là đường cao, nên D là chân đường cao từ A xuống BC. Do đó, BD và CD là các đoạn thẳng trên BC. Ta có: - $$ - $$ Vì $$ thẳng hàng, nên $$. Theo giả thiết, $$ vuông góc với $$. Do đó, $$ là trực tâm của tam giác $$. Trong tam giác vuông $$, $$ là trực tâm, nên $$. Vì $$ là trung điểm của $$ và $$, ta có: - $$ Vậy, độ dài đoạn thẳng $$. b) Chứng minh: $$ Trong tam giác vuông $$, ta có: - $$ Vì $$ là trực tâm của tam giác $$, nên $$ là đoạn thẳng từ $$ vuông góc với $$. Do đó, trong tam giác vuông $$, ta có: - $$ Từ hai phương trình trên, ta suy ra: - $$ Vì $$, nên: - $$ c) Gọi M là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BE và CF lần lượt tại Q và P. Chứng minh MP = MQ. Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$. Kẻ đường thẳng qua $$ vuông góc với $$, cắt $$ tại $$ và $$ tại $$. Do $$ là trung tuyến và $$ vuông góc với $$, nên $$ là đường trung trực của $$. Vì $$ là đường trung trực của $$, nên $$. Vậy, ta đã chứng minh được $$.