Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, M là trung điểm của BC. Đường thẳng AH cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai là A’. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường thẳng AA’. Gọi G là trung điểm EF. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định khi tam giác ABC thay đổi mà vẫn giữ nguyên độ dài ba cạnh.

Question

𝕼.𝖈𝖍𝖎𝖎𝖎＊୨ৎ · Accepted Answer

{"userId":5419887,"userName":"Lan huongg"}

Tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$, $M$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng $AH$ cắt lại $(O)$ tại $A'$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $B$, $C$ xuống đường thẳng $AA'$. Gọi $G$ là trung điểm đoạn $EF$.

Xét đường thẳng qua $G$ và vuông góc $EF$.

Giữ độ dài ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$ không đổi $\Rightarrow$ tam giác $ABC$ chỉ quay, tịnh tiến mà không biến dạng.

Khi đó:

$AH$ luôn là đường cao $\Rightarrow$ $A'$ cố định trên $(O)$.
$E$, $F$ là hình chiếu vuông góc của $B$, $C$ lên $AA'$ $\Rightarrow$ $EF \perp AA'$.
$G$ là trung điểm $EF$.

$\Rightarrow$ Đường qua $G$ vuông góc $EF$ là trung trực của $EF$.

$\Rightarrow$ Khi tam giác quay, $EF$ thay đổi nhưng đối xứng, nên trung trực $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.

$\Rightarrow$ Đường thẳng qua $G$ và vuông góc $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi tam giác $ABC$ thay đổi mà giữ nguyên độ dài ba cạnh.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định khi tam giác ABC thay đổi mà vẫn giữ nguyên độ dài ba cạnh, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và tính chất liên quan:
   - Tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O).
   - H là trực tâm của tam giác ABC, do đó AH, BH, CH lần lượt vuông góc với BC, CA, AB.
   - M là trung điểm của BC.
   - Đường thẳng AH cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai là A’. Theo tính chất của đường tròn, A’ là điểm đối xứng của H qua O (tâm đường tròn).
   - E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường thẳng AA’. Do đó, AE ⊥ AA’ và AF ⊥ AA’.

2. Xác định điểm G:
   - G là trung điểm của EF. Do đó, G nằm trên đường trung trực của đoạn EF.

3. Chứng minh tính chất của đường thẳng qua G:
   - Đường thẳng đi qua G và vuông góc với EF chính là đường trung trực của đoạn EF.
   - Ta cần chứng minh rằng đường trung trực này luôn đi qua một điểm cố định khi tam giác ABC thay đổi mà vẫn giữ nguyên độ dài ba cạnh.

4. Xác định điểm cố định:
   - Do A’ là điểm đối xứng của H qua O, nên A’ là điểm cố định khi tam giác ABC thay đổi mà vẫn giữ nguyên độ dài ba cạnh.
   - Đường thẳng AA’ là trục đối xứng của tam giác HBC, do đó EF là đường kính của đường tròn đường kính AA’.
   - Trung điểm G của EF nằm trên đường trung trực của EF, và đường trung trực này đi qua tâm của đường tròn đường kính AA’, tức là điểm A’.

5. Kết luận:
   - Đường thẳng đi qua G và vuông góc với EF luôn đi qua điểm A’, là điểm cố định khi tam giác ABC thay đổi mà vẫn giữ nguyên độ dài ba cạnh.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng đường thẳng đi qua G và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định là A’ khi tam giác ABC thay đổi mà vẫn giữ nguyên độ dài ba cạnh.

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, M là trung điểm của BC. Đường thẳng AH cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai là A’. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và...