Giúp mình với!Giúp mình với!

Câu 1: Câu a: \( y = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = 6x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 6x^2 - 6x = 0 \implies 6x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < 0 \), \( y' > 0 \) - Khi \( 0 < x < 1 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 1 \), \( y' > 0 \) 4. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \) với \( y_{\text{CD}} = 1 \) - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) với \( y_{\text{CT}} = 0 \) Câu b: \( y = -x^4 + 2x^3 - 2x - 1 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = -4x^3 + 6x^2 - 2 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 6x^2 - 2 = 0 \implies 2x^3 - 3x^2 + 1 = 0 \] Ta thấy \( x = 1 \) là nghiệm của phương trình trên. 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < 1 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > 1 \), \( y' < 0 \) 4. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) với \( y_{\text{CD}} = -1 \) Câu c: \( y = \frac{x+2}{3x-1} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(3x-1) \cdot 1 - (x+2) \cdot 3}{(3x-1)^2} = \frac{-7}{(3x-1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{-7}{(3x-1)^2} = 0 \quad (\text{không có nghiệm}) \] 3. Xét dấu của \( y' \): - \( y' < 0 \) trên miền xác định \( x \neq \frac{1}{3} \) 4. Kết luận: - Hàm số không có cực trị. Câu d: \( y = \frac{x^2 - 4x + 4}{1 - x} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(1 - x)(2x - 4) - (x^2 - 4x + 4)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{-2x^2 + 6x - 6}{(1 - x)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -2x^2 + 6x - 6 = 0 \implies x^2 - 3x + 3 = 0 \quad (\text{vô nghiệm}) \] 3. Xét dấu của \( y' \): - \( y' < 0 \) trên miền xác định \( x \neq 1 \) 4. Kết luận: - Hàm số không có cực trị. Câu e: \( y = \sqrt{10x - x^2} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{10 - 2x}{2\sqrt{10x - x^2}} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 10 - 2x = 0 \implies x = 5 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < 5 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > 5 \), \( y' < 0 \) 4. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 5 \) với \( y_{\text{CD}} = 5 \) Câu f: \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 1 - x^2 = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < -1 \), \( y' < 0 \) - Khi \( -1 < x < 1 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > 1 \), \( y' < 0 \) 4. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) với \( y_{\text{CD}} = \frac{1}{2} \) - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \) với \( y_{\text{CT}} = -\frac{1}{2} \) Câu g: \( y = 2^{x^2 - 5x} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = 2^{x^2 - 5x} \ln 2 \cdot (2x - 5) \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2} \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < \frac{5}{2} \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > \frac{5}{2} \), \( y' > 0 \) 4. Kết luận: - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = \frac{5}{2} \) với \( y_{\text{CT}} = 2^{-\frac{25}{4}} \) Câu h: \( y = \frac{e^x}{x} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ e^x(x - 1) = 0 \implies x = 1 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < 1 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 1 \), \( y' > 0 \) 4. Kết luận: - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) với \( y_{\text{CT}} = e \) Câu i: \( y = \log_3(6x - x^2) \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{1}{(6x - x^2) \ln 3} \cdot (6 - 2x) = \frac{6 - 2x}{(6x - x^2) \ln 3} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 6 - 2x = 0 \implies x = 3 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < 3 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > 3 \), \( y' < 0 \) 4. Kết luận: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \) với \( y_{\text{CD}} = \log_3 9 = 2 \) Câu 2: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( g(x) = f(3 - x) \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( g(x) \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx}[f(3 - x)] = f'(3 - x) \cdot (-1) \] Do đó: \[ g'(x) = -f'(3 - x) \] 2. Thay \( f'(x) = (x^2 - 1)(x - 4) \) vào biểu thức trên: \[ g'(x) = -( (3 - x)^2 - 1 ) (3 - x - 4) \] \[ g'(x) = -( (9 - 6x + x^2) - 1 ) ( -1 - x ) \] \[ g'(x) = -( (x^2 - 6x + 8) ) ( -1 - x ) \] \[ g'(x) = -(x^2 - 6x + 8)(-1 - x) \] \[ g'(x) = (x^2 - 6x + 8)(1 + x) \] 3. Tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( g'(x) = 0 \): \[ (x^2 - 6x + 8)(1 + x) = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 + x = 0 \] 4. Giải các phương trình trên: \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \] \[ (x - 2)(x - 4) = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] \[ 1 + x = 0 \] \[ x = -1 \] 5. Các giá trị \( x \) làm cho \( g'(x) = 0 \) là \( x = -1, 2, 4 \). 6. Kiểm tra dấu của \( g'(x) \) để xác định các điểm cực trị: - Xét khoảng \( (-\infty, -1) \): \[ g'(x) = (x^2 - 6x + 8)(1 + x) \] Với \( x < -1 \), \( 1 + x < 0 \) và \( x^2 - 6x + 8 > 0 \). Do đó, \( g'(x) < 0 \). - Xét khoảng \( (-1, 2) \): \[ g'(x) = (x^2 - 6x + 8)(1 + x) \] Với \( -1 < x < 2 \), \( 1 + x > 0 \) và \( x^2 - 6x + 8 > 0 \). Do đó, \( g'(x) > 0 \). - Xét khoảng \( (2, 4) \): \[ g'(x) = (x^2 - 6x + 8)(1 + x) \] Với \( 2 < x < 4 \), \( 1 + x > 0 \) và \( x^2 - 6x + 8 < 0 \). Do đó, \( g'(x) < 0 \). - Xét khoảng \( (4, \infty) \): \[ g'(x) = (x^2 - 6x + 8)(1 + x) \] Với \( x > 4 \), \( 1 + x > 0 \) và \( x^2 - 6x + 8 > 0 \). Do đó, \( g'(x) > 0 \). 7. Kết luận: - Tại \( x = -1 \), \( g'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 2 \), \( g'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = 2 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 4 \), \( g'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 4 \) là điểm cực tiểu. Vậy hàm số \( g(x) = f(3 - x) \) có 3 điểm cực trị. Câu 3: Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x^2 - 2x) \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định: Hàm số \( y = f(x^2 - 2x) \) xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \) vì \( f \) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). 2. Tìm đạo hàm của hàm hợp: Đặt \( u = x^2 - 2x \). Khi đó, \( y = f(u) \). Đạo hàm của \( u \) theo \( x \) là: \[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là: \[ y' = f'(u) \cdot u' = f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) \] 3. Xét dấu của \( y' \): Để tìm điểm cực trị của \( y \), ta cần xét dấu của \( y' \). \[ y' = f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) \] \( y' = 0 \) khi: - \( f'(x^2 - 2x) = 0 \) hoặc - \( 2x - 2 = 0 \) Giải \( 2x - 2 = 0 \), ta được \( x = 1 \). 4. Xét các giá trị của \( x \) để \( f'(x^2 - 2x) = 0 \): Từ bảng xét dấu của \( f'(x) \), ta có: - \( f'(x) = 0 \) khi \( x = -2, 1, 3 \). Do đó, \( x^2 - 2x = -2 \), \( x^2 - 2x = 1 \), hoặc \( x^2 - 2x = 3 \). - \( x^2 - 2x = -2 \) giải ra \( x^2 - 2x + 2 = 0 \), phương trình vô nghiệm. - \( x^2 - 2x = 1 \) giải ra \( x^2 - 2x - 1 = 0 \), nghiệm là \( x = 1 \pm \sqrt{2} \). - \( x^2 - 2x = 3 \) giải ra \( x^2 - 2x - 3 = 0 \), nghiệm là \( x = 3 \) hoặc \( x = -1 \). 5. Xác định điểm cực tiểu: - Tại \( x = 1 \), \( y' = 0 \) và \( 2x - 2 = 0 \), không phải điểm cực trị. - Tại \( x = 1 + \sqrt{2} \) và \( x = -1 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, nên là điểm cực tiểu. Vậy hàm số \( y = f(x^2 - 2x) \) có 2 điểm cực tiểu. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \). Tuy nhiên, do thiếu thông tin cụ thể về bảng biến thiên, tôi sẽ đưa ra một phương pháp tổng quát để giải quyết các bài toán liên quan đến bảng biến thiên. Giả sử bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \) có dạng sau: \[ \begin{array}{c|cccc} x & -\infty & a & b & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & - & \\ \hline f(x) & -\infty & \text{Cực đại} & \text{Cực tiểu} & +\infty \\ \end{array} \] Trong đó: - \( a \) và \( b \) là các điểm tới hạn của hàm số. - \( f'(x) \) là đạo hàm của \( f(x) \). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm \( f'(x) \): - Đạo hàm \( f(x) \) để tìm \( f'(x) \). 2. Tìm các điểm tới hạn: - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn \( x = a \) và \( x = b \). 3. Xác định dấu của \( f'(x) \): - Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, a) \), \( (a, b) \), và \( (b, +\infty) \). 4. Lập bảng biến thiên: - Dựa vào dấu của \( f'(x) \) để lập bảng biến thiên của \( f(x) \). 5. Xác định cực trị: - Từ bảng biến thiên, xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. 6. Kết luận: - Nêu rõ các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số. Ví dụ, nếu \( f(x) = x^3 - 3x \): 1. Tìm đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] 3. Xác định dấu của \( f'(x) \): - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \), \( f'(x) > 0 \). - Trên khoảng \( (-1, 1) \), \( f'(x) < 0 \). - Trên khoảng \( (1, +\infty) \), \( f'(x) > 0 \). 4. Lập bảng biến thiên: \[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & -1 & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & - & + \\ \hline f(x) & -\infty & \text{Cực đại} & \text{Cực tiểu} & +\infty \\ \end{array} \] 5. Xác định cực trị: - Tại \( x = -1 \), \( f(x) \) đạt cực đại \( f(-1) = 2 \). - Tại \( x = 1 \), \( f(x) \) đạt cực tiểu \( f(1) = -2 \). 6. Kết luận: - Giá trị cực đại của hàm số là 2, đạt được khi \( x = -1 \). - Giá trị cực tiểu của hàm số là -2, đạt được khi \( x = 1 \). Hy vọng phương pháp này sẽ giúp bạn giải quyết bài toán một cách hiệu quả. Nếu bạn cung cấp thêm thông tin về bảng biến thiên cụ thể, tôi sẽ hỗ trợ chi tiết hơn.