Giải phương trình. Cho phương trình $\frac{(\sin x-\cos x)(\sin2x-3)-\sin2x-\cos2x+1}{2\sin x-\sqrt2}=0.$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $\frac{(\sin x - \cos x)(\sin 2x - 3) - \sin 2x - \cos 2x + 1}{2\sin x - \sqrt{2}} = 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Mẫu số $2\sin x - \sqrt{2} \neq 0$
   - Do đó, $2\sin x \neq \sqrt{2}$
   - Suy ra $\sin x \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Rút gọn tử số:
   - Ta có tử số là $(\sin x - \cos x)(\sin 2x - 3) - \sin 2x - \cos 2x + 1$
   - Biến đổi $\sin 2x$ thành $2\sin x \cos x$:
     $$
     (\sin x - \cos x)(2\sin x \cos x - 3) - 2\sin x \cos x - \cos 2x + 1
     $$
   - Biến đổi $\cos 2x$ thành $2\cos^2 x - 1$:
     $$
     (\sin x - \cos x)(2\sin x \cos x - 3) - 2\sin x \cos x - (2\cos^2 x - 1) + 1
     $$
   - Rút gọn:
     $$
     (\sin x - \cos x)(2\sin x \cos x - 3) - 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 1 + 1
     $$
     $$
     (\sin x - \cos x)(2\sin x \cos x - 3) - 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2
     $$

3. Giải phương trình:
   - Để phương trình bằng 0, tử số phải bằng 0:
     $$
     (\sin x - \cos x)(2\sin x \cos x - 3) - 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2 = 0
     $$
   - Đặt $t = \sin x - \cos x$, suy ra $t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2\sin x \cos x$
   - Thay vào phương trình:
     $$
     t(2\sin x \cos x - 3) - 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2 = 0
     $$
     $$
     t(-t^2 - 1 - 3) - (-t^2 - 1) - 2\cos^2 x + 2 = 0
     $$
     $$
     t(-t^2 - 4) + t^2 + 1 - 2\cos^2 x + 2 = 0
     $$
     $$
     -t^3 - 4t + t^2 + 1 - 2\cos^2 x + 2 = 0
     $$
     $$
     -t^3 + t^2 - 4t + 3 - 2\cos^2 x = 0
     $$

4. Kiểm tra các giá trị cụ thể:
   - Kiểm tra $x = \frac{\pi}{4}$:
     $$
     \sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}
     $$
     $$
     2\sin x - \sqrt{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = 0 \quad \text{(không thỏa mãn)}
     $$
   - Kiểm tra $x = \frac{3\pi}{4}$:
     $$
     \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
     $$
     $$
     2\sin x - \sqrt{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = 0 \quad \text{(không thỏa mãn)}
     $$

5. Kết luận:
   - Phương trình không có nghiệm trong khoảng $[0, 2\pi]$.

Đáp số: Phương trình không có nghiệm.