Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA ⊥ (ABC) và AB = a; SA =
a√6 phần 2
. Gọi H là trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAH).
b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC).

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA ⊥ (ABC) và AB = a; SA = 
a√6 phần 2
. Gọi H là trung điểm cạnh BC.
a)  Chứng minh: BC ⊥ (SAH).           
b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC).

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh: $ BC \perp (SAH) $.

1. Xác định các yếu tố trong hình chóp:
   - Đáy $ \triangle ABC $ là tam giác vuông cân tại $ A $, do đó $ AB = AC = a $.
   - $ SA \perp (ABC) $, nghĩa là $ SA $ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $ (ABC) $.

2. Xác định vị trí của điểm $ H $:
   - $ H $ là trung điểm của $ BC $.

3. Chứng minh $ BC \perp (SAH) $:
   - Vì $ SA \perp (ABC) $, nên $ SA \perp BC $.
   - Trong mặt phẳng $ (ABC) $, $ \triangle ABC $ là tam giác vuông cân tại $ A $, do đó $ BC $ là đường chéo của hình vuông cạnh $ a $, nên $ BC = a\sqrt{2} $.
   - $ H $ là trung điểm của $ BC $, nên $ AH $ là đường trung tuyến của tam giác vuông cân $ \triangle ABC $, do đó $ AH \perp BC $.
   - Từ đó, $ BC \perp AH $ và $ BC \perp SA $, suy ra $ BC \perp (SAH) $.

b) Tính góc giữa đường thẳng $ SH $ và mặt phẳng $ (ABC) $.

1. Xác định góc giữa $ SH $ và $ (ABC) $:
   - Góc giữa đường thẳng $ SH $ và mặt phẳng $ (ABC) $ chính là góc giữa $ SH $ và hình chiếu của nó trên mặt phẳng $ (ABC) $.

2. Tìm hình chiếu của $ SH $ trên $ (ABC) $:
   - Vì $ SA \perp (ABC) $, nên hình chiếu của $ S $ trên $ (ABC) $ là điểm $ A $.
   - Do đó, hình chiếu của $ SH $ trên $ (ABC) $ là đoạn thẳng $ AH $.

3. Tính góc $ \angle (SH, AH) $:
   - Ta có $ SA = \frac{a\sqrt{6}}{2} $.
   - $ AH $ là trung tuyến của tam giác vuông cân $ \triangle ABC $, nên $ AH = \frac{a\sqrt{2}}{2} $.
   - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ \triangle SAH $:
     $$
     SH = \sqrt{SA^2 + AH^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{6a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
     $$
   - Góc $ \angle (SH, AH) $ là góc $ \angle SAH $, có:
     $$
     \cos \angle SAH = \frac{AH}{SH} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}
     $$
   - Do đó, $ \angle SAH = 60^\circ $.

Vậy góc giữa đường thẳng $ SH $ và mặt phẳng $ (ABC) $ là $ 60^\circ $.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA ⊥ (ABC) và AB = a; SA = a√6 phần 2 . Gọi H là trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh: BC ⊥ (SAH). b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (...