Giúp mình với!

Câu 1: Bài 1: Giải phương trình $\cos2x + \cos x + 1 = 0$ Bước 1: Áp dụng công thức $\cos2x = 2\cos^2x - 1$, ta có: \[ 2\cos^2x - 1 + \cos x + 1 = 0 \] \[ 2\cos^2x + \cos x = 0 \] Bước 2: Đặt $y = \cos x$, phương trình trở thành: \[ 2y^2 + y = 0 \] \[ y(2y + 1) = 0 \] Bước 3: Giải phương trình: \[ y = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2y + 1 = 0 \] \[ y = 0 \quad \text{hoặc} \quad y = -\frac{1}{2} \] Bước 4: Thay lại $y = \cos x$: \[ \cos x = 0 \quad \text{hoặc} \quad \cos x = -\frac{1}{2} \] Bước 5: Tìm nghiệm: \[ \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Kết luận: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Bài 2: Giải phương trình $\frac{1 + \sin2x - \cos2x}{1 + \tan^2x} = \cos x (\sin2x + 2\cos^2x)$ Bước 1: Biến đổi vế trái: \[ \frac{1 + \sin2x - \cos2x}{1 + \tan^2x} = \frac{1 + \sin2x - \cos2x}{\sec^2x} = \cos^2x (1 + \sin2x - \cos2x) \] Bước 2: Biến đổi vế phải: \[ \cos x (\sin2x + 2\cos^2x) = \cos x (2\sin x \cos x + 2\cos^2x) = 2\cos^2x (\sin x + \cos x) \] Bước 3: Đưa phương trình về dạng: \[ \cos^2x (1 + \sin2x - \cos2x) = 2\cos^2x (\sin x + \cos x) \] Bước 4: Chia cả hai vế cho $\cos^2x$ (với $\cos x \neq 0$): \[ 1 + \sin2x - \cos2x = 2(\sin x + \cos x) \] Bước 5: Biến đổi tiếp: \[ 1 + 2\sin x \cos x - (2\cos^2x - 1) = 2(\sin x + \cos x) \] \[ 1 + 2\sin x \cos x - 2\cos^2x + 1 = 2(\sin x + \cos x) \] \[ 2 + 2\sin x \cos x - 2\cos^2x = 2(\sin x + \cos x) \] \[ 1 + \sin x \cos x - \cos^2x = \sin x + \cos x \] Bước 6: Đặt $t = \sin x + \cos x$, ta có: \[ t^2 = \sin^2x + \cos^2x + 2\sin x \cos x = 1 + 2\sin x \cos x \] \[ \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} \] Bước 7: Thay vào phương trình: \[ 1 + \frac{t^2 - 1}{2} - \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = t \] \[ 1 + \frac{t^2 - 1}{2} - 1 + \frac{t^2 - 1}{2} = t \] \[ t^2 - 1 = t \] \[ t^2 - t - 1 = 0 \] Bước 8: Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Bước 9: Thay lại $t = \sin x + \cos x$: \[ \sin x + \cos x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{hoặc} \quad \sin x + \cos x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \] Kết luận: \[ \sin x + \cos x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{hoặc} \quad \sin x + \cos x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \] Câu 2: 1) Gọi số cần tìm là $\stackrel{-}{abcd}$ + Chữ số d có 4 cách chọn (chọn từ tập B = {2;4;6;8}) + Chữ số a có 7 cách chọn (khác d) + Chữ số b có 6 cách chọn (khác a,d) + Chữ số c có 5 cách chọn (khác a,b,d) Theo quy tắc nhân ta có: 4 × 7 × 6 × 5 = 840 số thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2) + Số cách chọn 1 bạn nam là 20 cách + Số cách chọn 1 bạn nữ là 18 cách Theo quy tắc nhân ta có: 20 × 18 = 360 cách chọn 1 cặp đôi nam - nữ Số cách chọn 1 bạn để hát đơn ca là 20 + 18 = 38 cách Vậy theo quy tắc cộng ta có: 360 + 38 = 398 cách chọn một tiết mục văn nghệ Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. 1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Xét hai mặt phẳng (SAC) và (SBD): - Cả hai mặt phẳng này đều chứa cạnh chung là \( SC \). - Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) chính là đường thẳng \( SC \). 2) Tìm giao điểm N của SC và mặt phẳng (ADM). - Xét mặt phẳng (ADM): - Mặt phẳng này chứa các điểm \( A, D, M \). - Tìm giao điểm N của SC với (ADM): - Vì \( SC \) là một đường thẳng, để tìm giao điểm của nó với mặt phẳng (ADM), ta cần tìm một điểm chung của \( SC \) và (ADM). - Giả sử \( N \) là giao điểm cần tìm, thì \( N \) thuộc cả \( SC \) và (ADM). - Do đó, \( N \) là điểm chung của \( SC \) và (ADM). 3) Gọi I là giao điểm của AN và DM. Chứng minh ba điểm S, I, O thẳng hàng. - Xét các đường thẳng AN và DM: - \( I \) là giao điểm của \( AN \) và \( DM \). - Chứng minh S, I, O thẳng hàng: - \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). - Ta cần chứng minh rằng \( S, I, O \) thẳng hàng. - Xét mặt phẳng (SAC) và (SBD), ta có: - \( O \) thuộc cả \( AC \) và \( BD \), do đó \( O \) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này. - Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là \( SC \), nên \( O \) thuộc \( SC \). - Vì \( I \) là giao điểm của \( AN \) và \( DM \), và \( N \) thuộc \( SC \), nên \( I \) cũng thuộc mặt phẳng (SAC). - Do đó, \( S, I, O \) cùng thuộc mặt phẳng (SAC) và cùng nằm trên đường thẳng \( SC \). Vậy, ba điểm \( S, I, O \) thẳng hàng.