Tìm min T. Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:,$T=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3o}.$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T = \frac{3(b+c)}{2a} + \frac{4a+3c}{3b} + \frac{12(b-c)}{2a+3c} $, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các kỹ thuật biến đổi đại số.

Trước tiên, hãy viết lại biểu thức $ T $:
$$ T = \frac{3(b+c)}{2a} + \frac{4a+3c}{3b} + \frac{12(b-c)}{2a+3c}. $$
Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử để dễ dàng áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Xét từng phần riêng lẻ:
1. $ \frac{3(b+c)}{2a} $:
   - Đây là một phân thức đơn giản, không cần áp dụng bất đẳng thức gì thêm.
2. $ \frac{4a+3c}{3b} $:
   - Cũng là một phân thức đơn giản, không cần áp dụng bất đẳng thức gì thêm.
3. $ \frac{12(b-c)}{2a+3c} $:
   - Đây là một phân thức phức tạp hơn, nhưng chúng ta vẫn có thể xử lý nó bằng cách nhóm các hạng tử.
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các phân thức này:
$$ \left( \frac{3(b+c)}{2a} + \frac{4a+3c}{3b} + \frac{12(b-c)}{2a+3c} \right) \left( 2a + 3b + (2a+3c) \right) \geq \left( \sqrt{3(b+c)} + \sqrt{4a+3c} + \sqrt{12(b-c)} \right)^2. $$
Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ T $, nên chúng ta sẽ tối ưu hóa vế trái của bất đẳng thức trên.
$$ 2a + 3b + (2a+3c) = 4a + 3b + 3c. $$
Do đó:
$$ T \cdot (4a + 3b + 3c) \geq \left( \sqrt{3(b+c)} + \sqrt{4a+3c} + \sqrt{12(b-c)} \right)^2. $$
$$ T \geq \frac{\left( \sqrt{3(b+c)} + \sqrt{4a+3c} + \sqrt{12(b-c)} \right)^2}{4a + 3b + 3c}. $$

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.