Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, c, và d. a) Chứng minh AE vuông góc với BF. - Gọi $$, do đó $$. - Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$. - Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$. - Xét tam giác $$ và $$: - $$. - $$ (vì tổng các góc trong tam giác là $$). - Trong tam giác $$, $$ là đường trung tuyến. - Trong tam giác $$, $$ là đường trung tuyến. - Do đó, $$. - Vậy $$. b) Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân. - Xét tứ giác $$: - $$ vì $$ và $$ đều là đường trung tuyến của các cạnh song song trong hình bình hành. - $$ vì $$ và $$ là các đường trung tuyến của các cạnh bằng nhau trong hình bình hành. - Do đó, $$ là hình thang cân. c) Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật. - Trên tia đối của tia $$, lấy điểm $$ sao cho $$. - Trong hình bình hành $$, $$ và $$. - Do đó, $$ và $$. - Xét tứ giác $$: - $$ và $$ (vì $$ và $$ là các cạnh đối song song của hình bình hành). - $$ và $$. - Do đó, $$ là hình chữ nhật. d) Chứng minh M, E, D thẳng hàng. - Xét tam giác $$ và điểm $$ là trung điểm của $$. - Trong hình chữ nhật $$, $$ và $$ là hai đỉnh đối diện. - Đường thẳng $$ là đường trung tuyến của tam giác $$. - Vì $$ là trung điểm của $$ và $$ là điểm đối xứng của $$ qua $$, nên $$ thẳng hàng. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán. Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng $$ Vì D là trung điểm của AB và E là điểm trên tia đối của tia DM sao cho $$, nên E là điểm đối xứng của M qua D. Do đó, đoạn thẳng ME là đường trung trực của đoạn thẳng AB, tức là $$. b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao? - Tứ giác AEMC: Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Theo tính chất của tam giác vuông, AM cũng là đường cao, do đó $$. Kết hợp với việc đã chứng minh $$, ta có $$. Do đó, tứ giác AEMC có hai đường chéo cắt nhau tại M và $$, nên AEMC là hình bình hành. - Tứ giác AEBM: Vì $$ và $$, nên tứ giác AEBM có hai góc vuông tại A và M. Do đó, AEBM là hình chữ nhật. c) Cho $$ Tính chu vi tứ giác AEBM. Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có: $$ Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, nên: $$ Vì AEBM là hình chữ nhật, nên: $$ Chu vi của tứ giác AEBM là: $$ d) Tìm điều kiện để tứ giác AEBM là hình vuông. Để tứ giác AEBM là hình vuông, cần có $$. Tuy nhiên, từ phần c, ta đã tính được $$ và $$. Do đó, không có điều kiện nào để tứ giác AEBM là hình vuông với các giá trị đã cho của AB và AC. Nếu muốn tứ giác AEBM là hình vuông, cần có $$, tức là $$, điều này không thể xảy ra. Vậy không có điều kiện nào để tứ giác AEBM là hình vuông với các giá trị đã cho. Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Xác định các tứ giác 1. Tứ giác AEMF: - Vì E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC, nên ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC. - Do đó, góc AEM và góc AFM đều là góc vuông. - Tứ giác AEMF có hai góc đối diện là góc vuông, nên AEMF là hình chữ nhật. 2. Tứ giác AMBH: - E là hình chiếu của M trên AB, nên ME vuông góc với AB. - H được chọn trên tia đối của tia EM sao cho EH = EM, do đó MH = ME. - AM là đường trung tuyến, nên AM = MB. - Tứ giác AMBH có AM = MB và MH = ME, nên AMBH là hình bình hành. 3. Tứ giác AMCK: - F là hình chiếu của M trên AC, nên MF vuông góc với AC. - K được chọn trên tia đối của tia FM sao cho FK = FM, do đó MK = MF. - AM là đường trung tuyến, nên AM = MC. - Tứ giác AMCK có AM = MC và MK = MF, nên AMCK là hình bình hành. b) Chứng minh A là trung điểm của HK - Từ phần a, ta có AMBH và AMCK là các hình bình hành. - Trong hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. - Do đó, M là trung điểm của cả BH và CK. - Vì EH = EM và FK = FM, nên H và K đối xứng qua M. - Do đó, A là trung điểm của HK. c) Điều kiện để AEMF là hình vuông - Để tứ giác AEMF là hình vuông, ngoài việc là hình chữ nhật, cần có thêm điều kiện AE = AF. - Trong tam giác vuông ABC, để AE = AF, cần có AB = AC. - Do đó, tam giác ABC cần là tam giác vuông cân tại A để AEMF là hình vuông. Tóm lại, để AEMF là hình vuông, tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.