Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng?

Câu 41: Để tìm thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều, ta cần xác định chiều cao của khối chóp và diện tích đáy. 1. Xác định các yếu tố của hình chóp: - Hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm. - Các điểm E, F, G, H là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. 2. Tính độ dài cạnh của đáy hình chóp: - Vì E, F, G, H là trung điểm của các cạnh của hình vuông, nên tứ giác EFGH là hình vuông với cạnh bằng \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) (do đường chéo của hình vuông ABCD chia thành hai tam giác vuông cân). 3. Tính chiều cao của hình chóp: - Gọi \( O \) là giao điểm của các đường chéo của hình vuông EFGH. Khi gò các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH, đỉnh chóp \( O \) sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại \( O \). - Để tối ưu thể tích, chiều cao \( h \) của hình chóp sẽ là khoảng cách từ \( O \) đến mặt phẳng đáy EFGH. 4. Tính thể tích của hình chóp: - Diện tích đáy \( S \) của hình vuông EFGH là \( \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{25}{2} \). - Thể tích \( V \) của hình chóp là \( V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times \frac{25}{2} \times h = \frac{25h}{6} \). 5. Tối ưu hóa chiều cao \( h \): - Để tối ưu thể tích, ta cần tối ưu chiều cao \( h \). Chiều cao lớn nhất đạt được khi các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH là tam giác đều. - Khi đó, chiều cao \( h \) của hình chóp là \( \sqrt{5^2 - \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{25}{2}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \). 6. Tính thể tích lớn nhất: - Thay \( h = \frac{5}{\sqrt{2}} \) vào công thức thể tích: \[ V = \frac{25 \times \frac{5}{\sqrt{2}}}{6} = \frac{125}{6\sqrt{2}} = \frac{125\sqrt{2}}{12} \] Vậy, thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều là \( \frac{125\sqrt{2}}{12} \) cm³.