Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng $a\sqrt3.$ Hình chiếu vuông góc của S,lên mặt phẳng đáy là điểm I thuộc đoạn thẳng AB sao cho $BI=2AI.$ Góc giữa mặt bên (SCD) với mặt đáy,là $60^0$ (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.,

Question

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.  Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng $a\sqrt3.$ Hình chiếu vuông góc của S,lên mặt phẳng đáy là điểm I thuộc đoạn thẳng AB sao cho $BI=2AI.$ Góc giữa mặt bên (SCD) với mặt đáy,là $60^0$ (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/0cde6e1d98bd42a1bfeb5b1e0e3fdf3d.jpg />

Accepted Answer

$A(0, 0, 0), B(a\sqrt{3}, 0, 0), D(0, a\sqrt{3}, 0), C(a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, 0)$

$AI = \frac{1}{3}AB = \frac{a\sqrt{3}}{3} \implies I\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}, 0, 0 ight)$

$IK \perp CD \implies IK = AD = a\sqrt{3}$

$\widehat{SKI} = ((SCD), (ABCD)) = 60^\circ$

$SI = IK \cdot an(60^\circ) = a\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3a$

$\implies S\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}, 0, 3a ight)$

$d(AD, SC) = \frac{\left| [\vec{AS}, \vec{AD}, \vec{SC}] ight|}{\left| [\vec{AD}, \vec{SC}] ight|}$

$\vec{AD} = (0, a\sqrt{3}, 0)$

$\vec{AS} = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}, 0, 3a ight)$

$\vec{SC} = \left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}, a\sqrt{3}, -3a ight)$

$[\vec{AD}, \vec{SC}] = (-3\sqrt{3}a^2, 0, -2a^2)$

$\left| [\vec{AD}, \vec{SC}] ight| = \sqrt{(-3\sqrt{3}a^2)^2 + (-2a^2)^2} = \sqrt{27a^4 + 4a^4} = a^2\sqrt{31}$

$[\vec{AS}, \vec{AD}, \vec{SC}] = \vec{AS} \cdot [\vec{AD}, \vec{SC}]$

$= \frac{a\sqrt{3}}{3}(-3\sqrt{3}a^2) + 0 + 3a(-2a^2)$

$= -3a^3 - 6a^3 = -9a^3$

$d(AD, SC) = \frac{\left| -9a^3 ight|}{a^2\sqrt{31}} = \frac{9a}{\sqrt{31}} = \frac{9a\sqrt{31}}{31}$