Chứng minh giá trị t không đổi. Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=1.$ Gọi M là trung điểm của BC , N là trung điểm của AM ;,I là trung điểm của SN. Một mặt phẳng $(\alpha)$ di động luôn đi qua I cắt các cạnh SA,SB,SS lần lượt tại,A',B',C' . Chứng minh rằng biểu thức $T=\frac1{SA^\prime}+\frac1{SB^\prime}+\frac1{SC^\prime}$ có giá trị không đổi.

Question

Chứng minh giá trị t không đổi. Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=1.$ Gọi M là trung điểm của BC , N là trung điểm của AM ;,I là trung điểm của SN. Một mặt phẳng $(\alpha)$ di động luôn đi qua I cắt các cạnh SA,SB,SS lần lượt tại,A&#x27;,B&#x27;,C&#x27; . Chứng minh rằng biểu thức $T=\frac1{SA^\prime}+\frac1{SB^\prime}+\frac1{SC^\prime}$ có giá trị không đổi.

Accepted Answer

Để chứng minh rằng biểu thức $ T = \frac{1}{SA'} + \frac{1}{SB'} + \frac{1}{SC'} $ có giá trị không đổi, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vị trí của điểm I:

- Gọi $ A(1,0,0) $, $ B(0,1,0) $, $ C(0,0,1) $, và $ S(0,0,0) $.
   - Trung điểm $ M $ của $ BC $ có tọa độ $ M\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) $.
   - Trung điểm $ N $ của $ AM $ có tọa độ $ N\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right) $.
   - Trung điểm $ I $ của $ SN $ có tọa độ $ I\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right) $.

2. Xác định mặt phẳng $(\alpha)$:

- Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $ I\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right) $ và cắt các cạnh $ SA, SB, SC $ tại $ A', B', C' $.

3. Tính toán các đoạn $ SA', SB', SC' $:

- Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình dạng $ ax + by + cz = d $.
   - Vì $ I $ thuộc $(\alpha)$, ta có: 
     $$
     a \cdot \frac{1}{4} + b \cdot \frac{1}{8} + c \cdot \frac{1}{8} = d
     $$
   - Điểm $ A' $ trên $ SA $ có dạng $ (t, 0, 0) $, do đó $ at = d $ và $ SA' = t $.
   - Điểm $ B' $ trên $ SB $ có dạng $ (0, t, 0) $, do đó $ bt = d $ và $ SB' = t $.
   - Điểm $ C' $ trên $ SC $ có dạng $ (0, 0, t) $, do đó $ ct = d $ và $ SC' = t $.

4. Chứng minh $ T $ không đổi:

- Từ các phương trình trên, ta có:
     $$
     \frac{1}{SA'} = \frac{a}{d}, \quad \frac{1}{SB'} = \frac{b}{d}, \quad \frac{1}{SC'} = \frac{c}{d}
     $$
   - Do đó:
     $$
     T = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d} = \frac{a+b+c}{d}
     $$
   - Vì $ a \cdot \frac{1}{4} + b \cdot \frac{1}{8} + c \cdot \frac{1}{8} = d $, ta có:
     $$
     a + b + c = 2d
     $$
   - Suy ra:
     $$
     T = \frac{2d}{d} = 2
     $$

Vậy, giá trị của $ T $ luôn là 2, không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của mặt phẳng $(\alpha)$.