Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn 7a² - 1 chia hết cho 7ab - 1 và a² + b + 2 là số chính phương.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện chia hết và số chính phương. 2. Tìm các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn các điều kiện trên. Bước 1: Xác định điều kiện chia hết và số chính phương. - Điều kiện chia hết: 7a² - 1 chia hết cho 7ab - 1. - Điều kiện số chính phương: a² + b + 2 là số chính phương. Bước 2: Tìm các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn các điều kiện trên. - Ta có 7a² - 1 chia hết cho 7ab - 1, tức là tồn tại số nguyên k sao cho 7a² - 1 = k(7ab - 1). - Ta cũng có a² + b + 2 là số chính phương, tức là tồn tại số nguyên m sao cho a² + b + 2 = m². Bây giờ, chúng ta sẽ thử các giá trị của a và b để tìm các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn các điều kiện trên. - Với a = 1, ta có 7(1)² - 1 = 6 và 7(1)b - 1 = 7b - 1. Để 6 chia hết cho 7b - 1, ta có 7b - 1 = 1 hoặc 7b - 1 = 6. - Nếu 7b - 1 = 1, ta có b = 2/7, không phải số nguyên dương. - Nếu 7b - 1 = 6, ta có b = 1, là số nguyên dương. Kiểm tra điều kiện số chính phương: 1² + 1 + 2 = 4, là số chính phương. - Với a = 2, ta có 7(2)² - 1 = 27 và 7(2)b - 1 = 14b - 1. Để 27 chia hết cho 14b - 1, ta có 14b - 1 = 1 hoặc 14b - 1 = 27. - Nếu 14b - 1 = 1, ta có b = 2/14, không phải số nguyên dương. - Nếu 14b - 1 = 27, ta có b = 28/14 = 2, là số nguyên dương. Kiểm tra điều kiện số chính phương: 2² + 2 + 2 = 8, không phải số chính phương. - Với a = 3, ta có 7(3)² - 1 = 62 và 7(3)b - 1 = 21b - 1. Để 62 chia hết cho 21b - 1, ta có 21b - 1 = 1 hoặc 21b - 1 = 62. - Nếu 21b - 1 = 1, ta có b = 2/21, không phải số nguyên dương. - Nếu 21b - 1 = 62, ta có b = 63/21 = 3, là số nguyên dương. Kiểm tra điều kiện số chính phương: 3² + 3 + 2 = 14, không phải số chính phương. Qua các bước trên, chúng ta thấy rằng chỉ có cặp số (a; b) = (1; 1) thỏa mãn cả hai điều kiện. Đáp án: Cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn 7a² - 1 chia hết cho 7ab - 1 và a² + b + 2 là số chính phương là (1; 1).