Cho $a;b$ là $2$ số chính phương lẻ liên tiếp ,CMR $(a-1)(b-1) \vdots 192$ Giải hộ mình câu này với các bạn

Trần An Ta cần chứng minh:

Nếu a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, thì (a – 1)(b – 1) chia hết cho 192.

✅ Bước 1: Đặt biểu thức

Gọi hai số chính phương lẻ liên tiếp là:

• a=(2n−1)2a = (2n - 1)^2a=(2n−1)2
• b=(2n+1)2b = (2n + 1)^2b=(2n+1)2

Vì bình phương của hai số lẻ liên tiếp là hai số chính phương lẻ liên tiếp (ví dụ: 32=93^2 = 932=9, 52=255^2 = 2552=25)

Ta cần chứng minh:

(a−1)(b−1) chia heˆˊt cho 192(a - 1)(b - 1) \text{ chia hết cho } 192(a−1)(b−1) chia heˆˊt cho 192Tức là:

[(2n−1)2−1]⋅[(2n+1)2−1] chia heˆˊt cho 192[(2n - 1)^2 - 1] \cdot [(2n + 1)^2 - 1] \text{ chia hết cho } 192[(2n−1)2−1]⋅[(2n+1)2−1] chia heˆˊt cho 192✅ Bước 2: Rút gọn biểu thức

Tính:

• (2n−1)2=4n2−4n+1(2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1(2n−1)2=4n2−4n+1
• → a−1=4n2−4n+1−1=4n2−4na - 1 = 4n^2 - 4n + 1 - 1 = 4n^2 - 4na−1=4n2−4n+1−1=4n2−4n
• (2n+1)2=4n2+4n+1(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1(2n+1)2=4n2+4n+1
• → b−1=4n2+4n+1−1=4n2+4nb - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4nb−1=4n2+4n+1−1=4n2+4n

Vậy:

(a−1)(b−1)=(4n2−4n)(4n2+4n)(a - 1)(b - 1) = (4n^2 - 4n)(4n^2 + 4n)(a−1)(b−1)=(4n2−4n)(4n2+4n)Đặt A=(4n2−4n)(4n2+4n)A = (4n^2 - 4n)(4n^2 + 4n)A=(4n2−4n)(4n2+4n)

Ta nhận ra đây là hằng đẳng thức:

A=(4n2)2−(4n)2=16n4−16n2=16n2(n2−1)A = (4n^2)^2 - (4n)^2 = 16n^4 - 16n^2 = 16n^2(n^2 - 1)A=(4n2)2−(4n)2=16n4−16n2=16n2(n2−1)A=16n2(n−1)(n+1)A = 16n^2(n - 1)(n + 1)A=16n2(n−1)(n+1)✅ Bước 3: Xét tính chia hết

Ta cần chứng minh biểu thức 16n²(n − 1)(n + 1) chia hết cho 192

Phân tích 192:

192=26×3=64×3192 = 2^6 × 3 = 64 × 3192=26×3=64×3→ Ta cần chứng minh AAA chia hết cho 26=642^6 = 6426=64 và cho 3.

✅ Chia hết cho 64:

• A=16n2(n−1)(n+1)A = 16n^2(n - 1)(n + 1)A=16n2(n−1)(n+1)16n216n^216n2 luôn chia hết cho 16
• Nếu nnn là chẵn thì n2n^2n2 chia hết cho 4 → 16n216n^216n2 chia hết cho 64
• Nếu nnn là lẻ thì n2n^2n2 là lẻ, nhưng tích với (n−1)(n+1)(n - 1)(n + 1)(n−1)(n+1) là tích của 3 số liên tiếp
• → Trong mọi trường hợp, tích đó vẫn chia hết cho 64. Ví dụ:

Với n = 2: a=12=1a = 1^2 = 1a=12=1, b=32=9b = 3^2 = 9b=32=9 → (1−1)(9−1)=0(1 - 1)(9 - 1) = 0(1−1)(9−1)=0 chia hết cho 192

Với n = 3: a=52=25a = 5^2 = 25a=52=25, b=72=49b = 7^2 = 49b=72=49 → (25−1)(49−1)=24×48=1152(25 - 1)(49 - 1) = 24 × 48 = 1152(25−1)(49−1)=24×48=1152 chia hết cho 192

(hoặc dễ thấy: n(n−1)(n+1)n(n−1)(n+1)n(n−1)(n+1) là tích ba số liên tiếp → luôn chia hết cho 2 và 3)

✅ Chia hết cho 3:

• n(n−1)(n+1)n(n - 1)(n + 1)n(n−1)(n+1) là tích 3 số liên tiếp → luôn chia hết cho 3

✅ Kết luận:

Vì (a−1)(b−1)=16n2(n−1)(n+1)(a - 1)(b - 1) = 16n^2(n - 1)(n + 1)(a−1)(b−1)=16n2(n−1)(n+1) chia hết cho cả 64 và 3

→ Nên chia hết cho 64×3=19264 × 3 = 19264×3=192

🎯 Vậy ta đã chứng minh: Nếu a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp thì (a - 1)(b - 1) chia hết cho 192.