Giải hộ mình câu này với các bạn 25. ( Bình Định 2017): Cho n là số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:,$\sqrt{C^1_n}+\sqrt{C^2_n}+...+\sqrt{C^n_n}\leq\sqrt{n(2^n-1)}.$,26. ( Nghệ An: 2015). Cho số nguyên dương thỏa mãn:,$\frac1{A^2_2}+\frac1{A^2_3}+\frac1{A^2_4}+...+\frac1{A^2_n}=\frac{2~0~1~4}{2~0~1~5}.$,Tìm số hạng chứa $x^{2015}$ trong khai triển nhị thức $Niu-tơn~(2x^2-x)^{n-1}.$,27. ( Vĩnh phúc 2016). Tính tổng $\frac1{A^2_2}+\frac1{A^2_3}+\frac1{A^2_4}+...+\frac1{A^2_{2016}}$,28. ( Hà Tĩnh 2015). Cho khai triển $(1+2x)^n=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ với n là số tự nhiên thỏa,mãn:,$C^1_n+2\frac{C^2_n}{C^1_n}+3\frac{C^3_n}{C^2_n}+...+n\frac{C^n_n}{C^{n-1}_n}=78.$ Tìm số lớn nhất trong các số $a_0,a_1,...,a_n.$,29. ( Hà Tĩnh 2014). Tìm số nguyên dương n, k biết $n

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn 25. ( Bình Định 2017): Cho n là số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:,$\sqrt{C^1_n}+\sqrt{C^2_n}+...+\sqrt{C^n_n}\leq\sqrt{n(2^n-1)}.$,26. ( Nghệ An: 2015). Cho số nguyên dương thỏa mãn:,$\frac1{A^2_2}+\frac1{A^2_3}+\frac1{A^2_4}+...+\frac1{A^2_n}=\frac{2~0~1~4}{2~0~1~5}.$,Tìm số hạng chứa $x^{2015}$ trong khai triển nhị thức $Niu-tơn~(2x^2-x)^{n-1}.$,27. ( Vĩnh phúc 2016). Tính tổng $\frac1{A^2_2}+\frac1{A^2_3}+\frac1{A^2_4}+...+\frac1{A^2_{2016}}$,28. ( Hà Tĩnh 2015). Cho khai triển $(1+2x)^n=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ với n là số tự nhiên thỏa,mãn:,$C^1_n+2\frac{C^2_n}{C^1_n}+3\frac{C^3_n}{C^2_n}+...+n\frac{C^n_n}{C^{n-1}_n}=78.$ Tìm số lớn nhất trong các số $a_0,a_1,...,a_n.$,29. ( Hà Tĩnh 2014). Tìm số nguyên dương n, k biết $n<20$ và các số $C^{k-1}_n;C^k_n;C^{k+1}_n$ theo thứ tự,đó là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ năm lập thành một cấp số cộng.

Mai Quỳnh Anh · Accepted Answer

Bài 25:

- Phương pháp: Quy nạp hoặc bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

- Kết quả: Bất đẳng thức được chứng minh bằng cách đánh giá từng tầng căn thức và sử dụng tổng tổ hợp $ \sum_{k=1}^n C_n^k = 2^n - 1 $.

---

Bài 26:

- Tìm $ n $:

- $ A_k^2 = k(k-1) $, biến đổi tổng thành:

$$ \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = \frac{2014}{2015} $$

- Rút gọn được $ 1 - \frac{1}{n} = \frac{2014}{2015} \Rightarrow n = 2015 $.

- Tìm số hạng $ x^{2015} $:

- Khai triển $ (2x^2 - x)^{2014} $, giải $ 2a + b = 2015 $ với $ a + b = 2014 $.

- Kết quả: Hệ số $ C_{2014}^{1} \cdot 2^{2013} \cdot (-1)^1 = -2014 \cdot 2^{2013} $.

---

Bài 27:

- Tính tổng: Tương tự Bài 26, tổng trở thành:

$$ \sum_{k=2}^{2016} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = 1 - \frac{1}{2016} = \frac{2015}{2016} $$.

- Kết quả: $ \frac{2015}{2016} $.

---

Bài 28:

- Tìm $ n $:

- Biến đổi giả thiết:

$$ \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{C_n^k}{C_n^{k-1}} = \sum_{k=1}^n (n - k + 1) = \frac{n(n+1)}{2} = 78 $$

Giải ra $ n = 12 $.

- Tìm số lớn nhất:

- Khai triển $ (1 + 2x)^{12} $, hệ số lớn nhất $ a_k $ với $ k = \left\lfloor \frac{12 \cdot 2}{1 + 2} \right\rfloor = 8 $.

- Kết quả: $ a_8 = C_{12}^8 \cdot 2^8 $.

---

Bài 29:

- Điều kiện CSC:

- $ 2C_n^k = C_n^{k-1} + C_n^{k+1} $.

- Biến đổi thành phương trình:

$$ 2 = \frac{k}{n - k + 1} + \frac{n - k}{k + 1} $$

Giải nghiệm nguyên $ n = 14 $, $ k = 5 $.

- Kết quả: $ n = 14 $, $ k = 5 $.

Timi · Answer

25. (Bình Định 2017): Cho n là số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: $\sqrt{C^1_n}+\sqrt{C^2_n}+...+\sqrt{C^n_n}\leq\sqrt{n(2^n-1)}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$(\sqrt{C^1_n}+\sqrt{C^2_n}+...+\sqrt{C^n_n})^2 \leq (1+1+...+1)(C^1_n+C^2_n+...+C^n_n)$
Số các số hạng trong dãy $1, 1, ..., 1$ là n, do đó:
$(\sqrt{C^1_n}+\sqrt{C^2_n}+...+\sqrt{C^n_n})^2 \leq n(C^1_n+C^2_n+...+C^n_n)$
Ta có $C^1_n+C^2_n+...+C^n_n=2^n-1$. Do đó:
$(\sqrt{C^1_n}+\sqrt{C^2_n}+...+\sqrt{C^n_n})^2 \leq n(2^n-1)$
Lấy căn bậc hai cả hai vế ta được:
$\sqrt{C^1_n}+\sqrt{C^2_n}+...+\sqrt{C^n_n}\leq\sqrt{n(2^n-1)}$
Điều này chứng tỏ bất đẳng thức đã cho đúng.

26. (Nghệ An: 2015). Cho số nguyên dương thỏa mãn: $\frac1{A^2_2}+\frac1{A^2_3}+\frac1{A^2_4}+...+\frac1{A^2_n}=\frac{2~0~1~4}{2~0~1~5}.$ Tìm số hạng chứa $x^{2015}$ trong khai triển nhị thức $Niu-tơn~(2x^2-x)^{n-1}.$

Từ giả thiết ta có:
$\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+...+\frac1{n!}=\frac{2~0~1~4}{2~0~1~5}$
Nhận thấy rằng $n=2015$ thỏa mãn điều kiện trên. Do đó, ta cần tìm số hạng chứa $x^{2015}$ trong khai triển $(2x^2-x)^{2014}$.
Số hạng chứa $x^{2015}$ trong khai triển $(2x^2-x)^{2014}$ là:
$C^{2014}_{2014}(2x^2)^{2014}(-x)^{2014-2014}=C^{2014}_{2014}(2x^2)^{2014}(-x)^0=2^{2014}x^{4028}$
Do đó, số hạng chứa $x^{2015}$ trong khai triển $(2x^2-x)^{2014}$ là $2^{2014}x^{4028}$.

27. (Vĩnh phúc 2016). Tính tổng $\frac1{A^2_2}+\frac1{A^2_3}+\frac1{A^2_4}+...+\frac1{A^2_{2016}}$

Ta có:
$\frac1{A^2_2}+\frac1{A^2_3}+\frac1{A^2_4}+...+\frac1{A^2_{2016}}=\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+...+\frac1{2016!}$
Đây là tổng của các số hạng của dãy số $\frac1{2!}, \frac1{3!}, \frac1{4!}, ..., \frac1{2016!}$. Ta có thể tính tổng này bằng cách sử dụng công thức:
$\sum_{k=2}^{2016}\frac1{k!}=\sum_{k=0}^{2016}\frac1{k!}-\sum_{k=0}^{1}\frac1{k!}=e-\left(1+\frac1{1!}\right)=e-2$
Do đó, tổng $\frac1{A^2_2}+\frac1{A^2_3}+\frac1{A^2_4}+...+\frac1{A^2_{2016}}$ là $e-2$.

28. (Hà Tĩnh 2015). Cho khai triển $(1+2x)^n=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ với n là số tự nhiên thỏa mãn: $C^1_n+2\frac{C^2_n}{C^1_n}+3\frac{C^3_n}{C^2_n}+...+n\frac{C^n_n}{C^{n-1}_n}=78.$ Tìm số lớn nhất trong các số $a_0,a_1,...,a_n.$

Ta có:
$C^1_n+2\frac{C^2_n}{C^1_n}+3\frac{C^3_n}{C^2_n}+...+n\frac{C^n_n}{C^{n-1}_n}=78$
Nhận thấy rằng $n=6$ thỏa mãn điều kiện trên. Do đó, ta cần tìm số lớn nhất trong các số $a_0,a_1,...,a_6$.
Số lớn nhất trong các số $a_0,a_1,...,a_6$ là $a_3=2^3=8$.

29. (Hà Tĩnh 2014). Tìm số nguyên dương n, k biết $n<20$ và các số $C^{k-1}_n;C^k_n;C^{k+1}_n$ theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ năm lập thành một cấp số cộng.

Ta có:
$C^{k-1}_n+C^{k+1}_n=2C^k_n$
Nhận thấy rằng $n=10$ và $k=5$ thỏa mãn điều kiện trên. Do đó, ta có:
$C^4_{10}+C^6_{10}=2C^5_{10}$
Do đó, số nguyên dương n, k là $n=10$ và $k=5$.