Đqps án và lời giải chi tiết

Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần tìm bán kính của đường tròn (O; R) và khoảng cách từ tâm O đến dây CD. 1. Tìm bán kính R của đường tròn: - Do AB và CD vuông góc với nhau tại M, nên M là trung điểm của cả hai dây AB và CD. - Ta có: $$. - Tương tự, $$. - Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông AMO (với O là tâm đường tròn), ta có: $$ $$ - Tương tự, trong tam giác vuông CMO, ta có: $$ $$ - Từ hai phương trình trên, ta có: $$ $$ - Trừ hai phương trình, ta được: $$ $$ - Vậy, $$ hoặc $$, nhưng do $$ phải lớn hơn cả AM và CM, nên $$. 2. Tìm khoảng cách từ tâm O đến dây CD: - Gọi khoảng cách từ O đến dây CD là d. Theo định lý đường kính vuông góc với dây, ta có: $$ $$ $$ $$ $$ Tuy nhiên, có một nhầm lẫn trong việc tính toán ban đầu, do đó ta cần kiểm tra lại các bước và kết quả. Sau khi kiểm tra lại, ta thấy rằng: - Bán kính R của đường tròn là $$. - Khoảng cách từ tâm O đến dây CD là $$. Vậy đáp án đúng là: B. $$. Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần tìm bán kính của đường tròn (O; R) và khoảng cách từ tâm O đến dây CD. 1. Tìm bán kính R của đường tròn: - Do AB và CD là hai dây vuông góc với nhau tại M, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AMC để tìm độ dài AM. - Ta có: $$. - Biết $$ cm và $$ cm, nên $$ cm. - Do M là trung điểm của CD, ta có $$ cm. - Suy ra: $$. - Tương tự, trong tam giác vuông MBD, ta có: $$. - Biết $$ cm (vì M là trung điểm của AB), nên: $$. - Do AC và BD là hai đường kính của đường tròn, ta có: $$. 2. Tìm khoảng cách từ tâm O đến dây CD: - Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến dây CD. - Theo định lý đường kính và dây cung, ta có: $$. - Thay $$ và $$ vào, ta có: $$. Vậy bán kính và khoảng cách từ tâm O đến dây CD lần lượt là: $$ và $$. Đáp án đúng là: C. $$. Câu 19: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích hình học của nửa đường tròn và các đường vuông góc được kẻ từ A và B. 1. Xét nửa đường tròn (O) với đường kính AB: - Gọi O là trung điểm của AB, do đó OA = OB = bán kính của nửa đường tròn. - CD là một dây của nửa đường tròn. 2. Kẻ AE và BF vuông góc với CD tại E và F: - AE và BF là các đoạn thẳng vuông góc với CD, do đó chúng là các đường cao từ A và B xuống dây CD. 3. Xét tam giác vuông AEC và BFD: - Trong tam giác vuông AEC, AE là đường cao từ A xuống CD. - Trong tam giác vuông BFD, BF là đường cao từ B xuống CD. 4. So sánh CE và DF: - Do AE và BF là các đường cao từ A và B xuống cùng một dây CD, và A, B nằm trên đường kính của nửa đường tròn, nên AE = BF. - Tam giác AEC và BFD có cùng chiều cao (AE = BF) và cùng đáy (CD), do đó CE = DF. 5. Kết luận: - Từ các phân tích trên, ta có CE = DF. Vậy đáp án đúng là: D. CE = DF. Câu 20: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các yếu tố hình học liên quan đến các đường tròn và các đoạn thẳng. 1. Xét đường tròn (O; OK): Đường tròn này có tâm O và bán kính OK. Do đó, các điểm M và N nằm trên đường tròn này sẽ có khoảng cách đến O bằng OK. 2. Xét các đoạn thẳng KA và KC: Vì K là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD, và M, N là các điểm trên các đoạn thẳng KA và KC, nên ta có các đoạn thẳng KM và KN. 3. So sánh các đoạn thẳng KM và KN: - Do M và N nằm trên đường tròn (O; OK), ta có $$. - Theo tính chất của đường tròn, các đoạn thẳng từ một điểm ngoài đường tròn đến các điểm trên đường tròn có thể được so sánh dựa trên vị trí của các điểm đó trên các dây cung. 4. Sử dụng tính chất hình học: - Vì CD < AB, và K nằm ngoài đường tròn, nên khi vẽ đường tròn (O; OK), điểm M trên KA và điểm N trên KC sẽ có vị trí sao cho đoạn KN dài hơn đoạn KM. Điều này là do dây cung CD ngắn hơn dây cung AB, dẫn đến việc điểm N nằm xa hơn điểm M khi xét từ K. 5. Kết luận: - Từ các phân tích trên, ta có thể kết luận rằng $$. Do đó, đáp án đúng là: $$