Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố hình học cơ bản

- Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$.
- Tam giác $SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $ABCD$.

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm

Giả sử $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$.

Do tam giác $SAD$ là tam giác đều và vuông góc với đáy, ta có thể đặt $S$ có tọa độ $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h)$ với $h$ là chiều cao của tam giác đều $SAD$.

Vì $SAD$ là tam giác đều cạnh $a$, ta có:
$$
SD = AD = a
$$
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $SAD$, ta có:
$$
h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2
$$
$$
h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2
$$
$$
h^2 = \frac{3a^2}{4}
$$
$$
h = \frac{\sqrt{3}a}{2}
$$

Vậy tọa độ của $S$ là $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2})$.

Bước 3: Tìm tọa độ các điểm M, N, P

- $M$ là trung điểm của $SB$, nên tọa độ của $M$ là:
$$
M\left(\frac{\frac{a}{2} + a}{2}, \frac{\frac{a}{2} + 0}{2}, \frac{\frac{\sqrt{3}a}{2} + 0}{2}\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}a}{4}\right)
$$

- $N$ là trung điểm của $BC$, nên tọa độ của $N$ là:
$$
N\left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}, 0\right) = (a, \frac{a}{2}, 0)
$$

- $P$ là trung điểm của $CD$, nên tọa độ của $P$ là:
$$
P\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, a, 0\right)
$$

Bước 4: Chứng minh $AM \perp BP$

- Vector $\overrightarrow{AM} = \left(\frac{3a}{4} - 0, \frac{a}{4} - 0, \frac{\sqrt{3}a}{4} - 0\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}a}{4}\right)$

- Vector $\overrightarrow{BP} = \left(\frac{a}{2} - a, a - 0, 0 - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, a, 0\right)$

Tích vô hướng $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BP}$:
$$
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BP} = \frac{3a}{4} \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + \frac{a}{4} \cdot a + \frac{\sqrt{3}a}{4} \cdot 0 = -\frac{3a^2}{8} + \frac{a^2}{4} = 0
$$

Vì tích vô hướng bằng 0, nên $AM \perp BP$.

Bước 5: Tính thể tích khối tứ diện $CMNP$

Thể tích khối tứ diện $CMNP$ được tính bằng công thức:
$$
V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{CM} \cdot (\overrightarrow{CN} \times \overrightarrow{CP}) \right|
$$

- Vector $\overrightarrow{CM} = \left(\frac{3a}{4} - a, \frac{a}{4} - a, \frac{\sqrt{3}a}{4} - 0\right) = \left(-\frac{a}{4}, -\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}a}{4}\right)$

- Vector $\overrightarrow{CN} = \left(a - a, \frac{a}{2} - a, 0 - 0\right) = \left(0, -\frac{a}{2}, 0\right)$

- Vector $\overrightarrow{CP} = \left(\frac{a}{2} - a, a - a, 0 - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, 0, 0\right)$

Tích có hướng $\overrightarrow{CN} \times \overrightarrow{CP}$:
$$
\overrightarrow{CN} \times \overrightarrow{CP} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
0 & -\frac{a}{2} & 0 \
-\frac{a}{2} & 0 & 0
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}\left(-\frac{a^2}{4}\right) = \left(0, 0, -\frac{a^2}{4}\right)
$$

Tích vô hướng $\overrightarrow{CM} \cdot (\overrightarrow{CN} \times \overrightarrow{CP})$:
$$
\overrightarrow{CM} \cdot (\overrightarrow{CN} \times \overrightarrow{CP}) = \left(-\frac{a}{4}\right) \cdot 0 + \left(-\frac{3a}{4}\right) \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}a}{4} \cdot \left(-\frac{a^2}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}a^3}{16}
$$

Thể tích $V$ của khối tứ diện $CMNP$:
$$
V = \frac{1}{6} \left| -\frac{\sqrt{3}a^3}{16} \right| = \frac{\sqrt{3}a^3}{96}
$$

Vậy thể tích của khối tứ diện $CMNP$ là $\frac{\sqrt{3}a^3}{96}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc...