Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là trung điểm AB. Hai mặt
phẳng (SHD),(SHC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khối chóp có ba mặt bên là ba tam giác vuông.

Question

gaidepcuto · Accepted Answer

{"userId":5420429,"userName":"Minh Long"}

Gọi hệ tọa độ:

$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,a,0),\quad C(a,a,0)$$

$$H\left( \frac{a}{2}, 0, 0 ight),\quad S\left( \frac{a}{2}, 0, h ight)$$

Vì $(SHD) \perp (ABCD) \Rightarrow \vec{SH} \perp (ABCD) \Rightarrow \vec{SH} \parallel Oz$

Khi đó:

$$\vec{SA} = \left( -\frac{a}{2}, 0, -h ight),\quad \vec{SB} = \left( \frac{a}{2}, 0, -h ight)$$

$$\vec{SA} \cdot \vec{SB} = -\frac{a^2}{4} + h^2 = 0 \Rightarrow h^2 = \frac{a^2}{4} \Rightarrow h = \frac{a}{2}$$

$$\Rightarrow SH = h = \frac{a}{2},\quad S_{ABCD} = a^2$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ ext{đáy}} \cdot ext{chiều cao} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}$$

$$\boxed{V = \frac{a^3}{6}}$$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí của điểm S sao cho các điều kiện của bài toán được thỏa mãn.

1. Xác định vị trí của điểm S:

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh $ a $, do đó các điểm A, B, C, D có tọa độ trong mặt phẳng đáy như sau:
     - $ A(0, 0, 0) $
     - $ B(a, 0, 0) $
     - $ C(a, a, 0) $
     - $ D(0, a, 0) $

- H là trung điểm của AB, nên tọa độ của H là:
     $$
     H\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)
     $$

- Hai mặt phẳng (SHD) và (SHC) cùng vuông góc với đáy (ABCD), điều này có nghĩa là đường thẳng SH vuông góc với mặt phẳng đáy.

2. Xác định tọa độ của điểm S:

- Vì SH vuông góc với mặt phẳng đáy, nên S có tọa độ dạng $ S\left(\frac{a}{2}, 0, z\right) $.

3. Xác định điều kiện để ba mặt bên là tam giác vuông:

- Mặt bên (SAB) là tam giác vuông tại H vì SH vuông góc với AB.
   - Mặt bên (SBC) là tam giác vuông tại B vì SH vuông góc với BC.
   - Mặt bên (SCD) là tam giác vuông tại C vì SH vuông góc với CD.

4. Tính thể tích khối chóp S.ABCD:

- Thể tích khối chóp S.ABCD được tính theo công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}
     $$

- Diện tích đáy ABCD là:
     $$
     a^2
     $$

- Chiều cao của khối chóp là độ dài đoạn SH, mà SH vuông góc với mặt phẳng đáy, nên:
     $$
     SH = z
     $$

- Do đó, thể tích khối chóp là:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times a^2 \times z
     $$

5. Xác định giá trị của $ z $:

- Để ba mặt bên là tam giác vuông, ta cần xác định giá trị của $ z $ sao cho các điều kiện vuông góc được thỏa mãn. Theo điều kiện của bài toán, ta có thể chọn $ z = a $ để đảm bảo các tam giác vuông.

6. Kết luận:

- Thể tích khối chóp S.ABCD là:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3}
     $$

Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là $ \frac{a^3}{3} $.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là trung điểm AB. Hai mặt phẳng (SHD),(SHC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khối chóp có ba mặt bên là ba tam giác...