Cho M là tập con chứa n phần tử của S = {1; 2; 3;...; 2023}. Tìm n lớn nhất để mọi x, y ∈ M x ≠ y thì x + y không chia hết cho x - y.

Question

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Xét M = {3k + 1 với k = 0, 1, 2,..., 674 thì tập A có 675 phần tử. Dễ thấy hiệu 2 số bất kì của A là bội của 3 còn tổng của 2 số bất kì của M không chia hết cho 3. Do đó với 2 số bất kì trong M thì tổng của chúng không chia hết cho hiệu của chúng.

Xét N là tập con của S có ít nhất 676 phần tử. Chia S thành 675 tập con như sau {1; 2; 3}, {4; 5; 6}...{2020; 2021; 2022}, {2023}. Khi đó sẽ có ít nhất 2 phần tử của N, giả sử là a và b, thuộc 1 trong các tập con 3 phần tử kể trên.

Chú ý rằng hiệu 2 phần tử bất kì trong mỗi tập 3 kể trên không lớn hơn 2. Vậy ta có a - b = 1 hoặc a - b = 2. Nếu a - b = 1 thì a + b chia hết cho a - b, nếu a - b = 2 và a + b cùng tính chẵn lẻ với a + b nên a + b chắn, dó đó a + b chia hết cho a - b.Vậy N không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó n lớn nhất, n = 675.

Timi · Answer

Ta sẽ chọn M là tập hợp các số lẻ thuộc S. 
Giả sử tồn tại hai số x, y ∈ M thỏa mãn x + y ⋮ x - y. 
Do x, y đều là số lẻ nên x + y và x - y đều là số chẵn. 
Từ đó suy ra $\frac{x+y}{x-y}=k$ với k là số nguyên dương. 
Mà x + y > x - y nên k ≥ 2. 
Từ đó ta có x + y = k(x - y) ⇔ x = $\frac{(k+1)}{(k-1)}$.y. 
Vì k ≥ 2 nên $\frac{k+1}{k-1}$ > 1. 
Mặt khác, $\frac{k+1}{k-1}$ = 1 + $\frac{2}{k-1}$. 
Vì k là số nguyên dương nên $\frac{k+1}{k-1}$ là số hữu tỉ. 
Do đó, nếu tồn tại hai số x, y ∈ M thỏa mãn x + y ⋮ x - y thì x và y phải có cùng tính chất chẵn lẻ. 
Nhưng do M là tập hợp các số lẻ nên x và y đều là số lẻ. 
Vậy không tồn tại hai số x, y ∈ M thỏa mãn x + y ⋮ x - y. 
Vậy n lớn nhất là 1012.