Chứng minh:
$(1+2+3+...+n)^2= 1^3+2^3+..+n^3$
Giải hộ mình câu này với các bạn

Question

Accepted Answer

Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
Khi n = 1, vế trái là $(1)^2 = 1$ và vế phải là $1^3 = 1$. Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là:
$(1+2+3+...+k)^2 = 1^3+2^3+...+k^3$.

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là:
$(1+2+3+...+k+(k+1))^2 = 1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3$.

Ta có:
$(1+2+3+...+k+(k+1))^2 = (1+2+3+...+k)^2 + 2(1+2+3+...+k)(k+1) + (k+1)^2$.

Theo giả thiết quy nạp, $(1+2+3+...+k)^2 = 1^3+2^3+...+k^3$, nên:
$(1+2+3+...+k+(k+1))^2 = 1^3+2^3+...+k^3 + 2(1+2+3+...+k)(k+1) + (k+1)^2$.

Ta biết rằng tổng của các số tự nhiên từ 1 đến k là $\frac{k(k+1)}{2}$, nên:
$2(1+2+3+...+k)(k+1) = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} \cdot (k+1) = k(k+1)^2$.

Do đó:
$(1+2+3+...+k+(k+1))^2 = 1^3+2^3+...+k^3 + k(k+1)^2 + (k+1)^2$.

Nhóm các hạng tử liên quan đến $(k+1)$:
$(1+2+3+...+k+(k+1))^2 = 1^3+2^3+...+k^3 + (k+1)^2(k+1) = 1^3+2^3+...+k^3 + (k+1)^3$.

Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1.

Kết luận: Mệnh đề đã được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Do đó, $(1+2+3+...+n)^2 = 1^3+2^3+...+n^3$ đúng với mọi n.

Chứng minh: Giải hộ mình câu này với các bạn