Bài tập hình. Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định, $AB=R\sqrt2.$ Điểm P di,động trên dây AB (P khác A và B). Gọi $(C;R_1)$ là đường tròn đi qua P và,tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại $A,~(D;R_2)$ là đường tròn đi qua P và tiếp,xúc với (O;R) tại B . Hai đường tròn $(C;R_1)$ và $(D;R_2)$ cắt nhau tại điểm,thứ hai M.,a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng,minh $OM//CD$ và bốn điểm C,D,O,M cùng thuộc một đường tròn.,b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên,đường tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố,định N..,c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất? Diện tích tam giác AMB,lớn nhất?

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh $OM \parallel CD$ và bốn điểm $C, D, O, M$ cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh $OM \parallel CD$:

1. Gọi $I$ là trung điểm của dây cung $AB$. Vì $AB = R\sqrt{2}$, nên $AI = IB = \frac{R\sqrt{2}}{2}$.
2. Đường tròn $(C; R_1)$ tiếp xúc với $(O; R)$ tại $A$, do đó $OA = R$ và $CA = R_1$.
3. Tương tự, đường tròn $(D; R_2)$ tiếp xúc với $(O; R)$ tại $B$, do đó $OB = R$ và $DB = R_2$.
4. Vì $P$ di động trên dây $AB$, nên $P$ không trùng với $I$ (trung điểm của $AB$).
5. Do tính chất đối xứng và tiếp xúc, ta có $OC = OD$.
6. Gọi $M$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn $(C; R_1)$ và $(D; R_2)$.
7. Do tính chất đối xứng của hai đường tròn tiếp xúc với $(O; R)$ tại $A$ và $B$, ta có $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $CD$, do đó $OM \parallel CD$.

Chứng minh bốn điểm $C, D, O, M$ cùng thuộc một đường tròn:

1. Ta đã có $OM \parallel CD$, điều này có nghĩa là tứ giác $OCMD$ là tứ giác nội tiếp.
2. Theo định lý về tứ giác nội tiếp, nếu hai đường chéo của tứ giác cắt nhau tại một điểm và hai đường thẳng song song, thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
3. Do đó, bốn điểm $C, D, O, M$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh khi $P$ di động trên dây $AB$ thì điểm $M$ di động trên đường tròn cố định và đường thẳng $MP$ luôn đi qua một điểm cố định $N$.

1. Khi $P$ di động trên dây $AB$, các đường tròn $(C; R_1)$ và $(D; R_2)$ thay đổi vị trí nhưng vẫn tiếp xúc với $(O; R)$ tại $A$ và $B$.
2. Do đó, điểm $M$ là giao điểm của hai đường tròn này sẽ di động trên một đường tròn cố định.
3. Đường tròn cố định này có tâm là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và bán kính là $R$.
4. Đường thẳng $MP$ luôn đi qua một điểm cố định $N$, là điểm đối xứng của $O$ qua $I$ (trung điểm của $AB$).

c) Tìm vị trí của $P$ để tích $PM \cdot PN$ lớn nhất? Diện tích tam giác $AMB$ lớn nhất?

Tìm vị trí của $P$ để tích $PM \cdot PN$ lớn nhất:

1. Tích $PM \cdot PN$ lớn nhất khi $P$ là trung điểm của dây cung $AB$.
2. Khi đó, $P$ trùng với $I$, và $M$ trùng với $N$.

Diện tích tam giác $AMB$ lớn nhất:

1. Diện tích tam giác $AMB$ lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa của cung $AB$ không chứa $O$.
2. Khi đó, tam giác $AMB$ là tam giác vuông cân tại $M$, và diện tích đạt giá trị lớn nhất.

Vậy, vị trí của $P$ để tích $PM \cdot PN$ lớn nhất là khi $P$ là trung điểm của dây cung $AB$, và diện tích tam giác $AMB$ lớn nhất khi $M$ là điểm chính giữa của cung $AB$ không chứa $O$.