Tính giá trị m. Câu 26: Cho phương trình $(1-2\sin3x)+\cos3x(\sin3x-\cos3x)=0.$ Gọi H là hình được tạo bởi các điểm,biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác. Biết diện tích S của hình,H bằng $\frac{m\sqrt3}2.$ Tìm giá trị của m .

Question

Accepted Answer

Câu 26:
Để giải phương trình $(1-2\sin3x) + \cos3x(\sin3x - \cos3x) = 0$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đơn giản hóa phương trình.
$$
(1-2\sin3x) + \cos3x(\sin3x - \cos3x) = 0
$$
$$
1 - 2\sin3x + \cos3x\sin3x - \cos^23x = 0
$$

Bước 2: Nhóm các hạng tử để dễ dàng đơn giản hóa hơn.
$$
1 - 2\sin3x + \cos3x\sin3x - \cos^23x = 0
$$
$$
1 - \cos^23x - 2\sin3x + \cos3x\sin3x = 0
$$

Bước 3: Sử dụng công thức $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ để thay thế $1 - \cos^23x$ bằng $\sin^23x$.
$$
\sin^23x - 2\sin3x + \cos3x\sin3x = 0
$$

Bước 4: Đặt $t = \sin3x$. Phương trình trở thành:
$$
t^2 - 2t + t\cos3x = 0
$$

Bước 5: Giải phương trình bậc hai theo $t$:
$$
t(t - 2 + \cos3x) = 0
$$

Bước 6: Từ đó, ta có hai trường hợp:
$$
t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t - 2 + \cos3x = 0
$$

Trường hợp 1: $t = 0$
$$
\sin3x = 0
$$
$$
3x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
$$
x = \frac{k\pi}{3}
$$

Trường hợp 2: $t - 2 + \cos3x = 0$
$$
\sin3x - 2 + \cos3x = 0
$$
$$
\sin3x + \cos3x = 2
$$

Do $\sin3x + \cos3x$ có giá trị tối đa là $\sqrt{2}$, nên phương trình này vô nghiệm.

Bước 7: Kết luận các nghiệm của phương trình:
$$
x = \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

Bước 8: Xác định các điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Các điểm này là các bội số của $\frac{\pi}{3}$.

Bước 9: Tính diện tích $S$ của hình H. Hình H là một tam giác đều nội tiếp trong đường tròn đơn vị, với cạnh bằng $\sqrt{3}$.

Diện tích $S$ của tam giác đều cạnh $a$ là:
$$
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
$$
Với $a = \sqrt{3}$:
$$
S = \frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
$$

Bước 10: So sánh với $S = \frac{m\sqrt{3}}{2}$:
$$
\frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{m\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\frac{3}{4} = \frac{m}{2}
$$
$$
m = \frac{3}{2} \times 2 = 3
$$

Vậy giá trị của $m$ là:
$$
m = 3
$$