giúp em với ạ

Câu 2: a) \( x^2 + xy - 5x - 5y \) Ta nhóm các hạng tử lại như sau: \[ x(x + y) - 5(x + y) \] Rồi ta thấy rằng \( (x + y) \) là một nhân tử chung, do đó ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng: \[ (x + y)(x - 5) \] Vậy, đa thức \( x^2 + xy - 5x - 5y \) đã được phân tích thành nhân tử là: \[ (x + y)(x - 5) \] b) \( 25 - x^2 - y^2 - 2xy \) Ta nhận thấy rằng \( 25 - x^2 - y^2 - 2xy \) có thể viết lại dưới dạng: \[ 25 - (x^2 + y^2 + 2xy) \] Biểu thức \( x^2 + y^2 + 2xy \) là bình phương của tổng \( (x + y)^2 \): \[ 25 - (x + y)^2 \] Do đó, ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hiệu của hai bình phương: \[ 5^2 - (x + y)^2 \] Hiệu của hai bình phương có thể phân tích thành nhân tử theo công thức: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Áp dụng công thức này, ta có: \[ 5^2 - (x + y)^2 = (5 - (x + y))(5 + (x + y)) \] \[ = (5 - x - y)(5 + x + y) \] Vậy, đa thức \( 25 - x^2 - y^2 - 2xy \) đã được phân tích thành nhân tử là: \[ (5 - x - y)(5 + x + y) \] c) \( x^2 - 9x + 20 \) Ta cần tìm hai số \( p \) và \( q \) sao cho: \[ pq = 20 \quad \text{và} \quad p + q = -9 \] Các cặp số nhân của 20 là: \[ (1, 20), (-1, -20), (2, 10), (-2, -10), (4, 5), (-4, -5) \] Trong các cặp này, cặp số \( (-4, -5) \) thỏa mãn điều kiện \( p + q = -9 \). Do đó, ta có thể viết lại đa thức dưới dạng: \[ x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) \] Vậy, đa thức \( x^2 - 9x + 20 \) đã được phân tích thành nhân tử là: \[ (x - 4)(x - 5) \] Câu 3: a) \(5x(x-2014)-x+2014=0\) Ta có: \(5x(x-2014)-x+2014=0\) \(5x(x-2014)-(x-2014)=0\) \((x-2014)(5x-1)=0\) Do đó: \(x-2014=0\) hoặc \(5x-1=0\) Nếu \(x-2014=0\) thì \(x=2014\) Nếu \(5x-1=0\) thì \(5x=1\) hay \(x=\frac{1}{5}\) Vậy \(x=2014\) hoặc \(x=\frac{1}{5}\) b) \(4x^2-4x=0\) Ta có: \(4x^2-4x=0\) \(4x(x-1)=0\) Do đó: \(4x=0\) hoặc \(x-1=0\) Nếu \(4x=0\) thì \(x=0\) Nếu \(x-1=0\) thì \(x=1\) Vậy \(x=0\) hoặc \(x=1\) Câu 4: a) Ta có: \(A=\frac{2x-4}{x^2-4x+4}=\frac{2(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{2}{x-2}\) b) Để A có giá trị nguyên thì \(\frac{2}{x-2}\) phải là số nguyên. Suy ra \(x-2\) là ước của 2. Các ước của 2 là: -2, -1, 1, 2. Ta có bảng sau: | \(x-2\) | -2 | -1 | 1 | 2 | |---------|----|----|---|---| | \(x\) | 0 | 1 | 3 | 4 | Vậy \(x=0;x=1;x=3;x=4\) thỏa mãn đề bài. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Tính độ dài đoạn thẳng DE và chứng minh DECH là hình bình hành. 1. Tính độ dài DE: Vì D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên DE là đường trung bình của tam giác ABC. Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ DE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \, \text{cm}. \] 2. Chứng minh DECH là hình bình hành: - DE là đường trung bình của tam giác ABC, nên DE song song với BC và DE = $\frac{1}{2}$ BC. - H là trung điểm của BC, nên DE = CH và DE // CH. Vì DE = CH và DE // CH, nên tứ giác DECH là hình bình hành. b) Chứng minh AHCF là hình chữ nhật. - F là điểm đối xứng của H qua E, nên E là trung điểm của HF. - Vì DECH là hình bình hành, nên DE // CH và DE = CH. - Do đó, AE // HF và AE = HF. Vì AE = HF và AE // HF, nên AHCF là hình bình hành. - Xét tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 60°, suy ra góc ABC = góc ACB = 60°. - Do đó, tam giác ABC là tam giác đều, suy ra AH vuông góc với BC. Vì AH vuông góc với BC và AE // HF, nên AH vuông góc với HF. Vậy AHCF là hình chữ nhật. c) Chứng minh MN vuông góc với DE. - M là giao điểm của DF và AE. - N là giao điểm của DC và HF. Xét hình bình hành DECH, ta có DE // CH và DC // EH. - Vì AE // HF (do AHCF là hình chữ nhật), nên AE vuông góc với DE. - Tương tự, DC vuông góc với DE. Do đó, MN là đường chéo của hình bình hành DECH, và vì AE // HF, nên MN vuông góc với DE. d) Chứng minh $DM^2 = MA \cdot MC$. - Xét tam giác ADC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC, nên DE là đường trung bình của tam giác ABC. - Vì tam giác ABC cân tại A và góc BAC = 60°, nên tam giác ABC là tam giác đều. Do đó, AD = DC và DE = $\frac{1}{2}$ BC. - Xét tam giác ADM và tam giác MCD, vì DE // BC và DE = $\frac{1}{2}$ BC, nên DM là đường trung bình của tam giác ADC. Do đó, DM = $\frac{1}{2}$ AD = $\frac{1}{2}$ DC. - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ DM^2 = MA \cdot MC. \] Vậy ta đã chứng minh được $DM^2 = MA \cdot MC$.