Đề thi môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 tại Hà Nội năm 2025 (Tiếp) Câu IV (4;0 điểm),1) Gia đình bạn Khánh đang sử dụng một thùng đựng nước dạng,hình trụ với bán kính đáy bằng 50 cm và chiều cao bằng 150 cm. Thùng,,đựng nước được đặt thẳng đứng trên mặt sàn như hình minh họa bên.,(Lấy $\pi\approx3,14$ và coi chiều dày của thùng không đáng kể).,a) Tính diện tích xung quanh của thùng đựng nước.,b) Sau một thời gian gia đình bạn Khánh sử dụng nước trong thùng,thì mực nước còn lại đã thấp hơn 40 cm so với mực nước ban đầu.,Tính thể tích nước trong thùng mà gia đình bạn Khánh đã sử dụng trong,khoảng thời gian đó.,2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB

Question

Đề thi môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 tại Hà Nội năm 2025 (Tiếp) Câu IV (4;0 điểm),1) Gia đình bạn Khánh đang sử dụng một thùng đựng nước dạng,hình trụ với bán kính đáy bằng 50 cm và chiều cao bằng 150 cm. Thùng,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/eaf127ec77be441a92cd5fea89940497.jpg />,đựng nước được đặt thẳng đứng trên mặt sàn như hình minh họa bên.,(Lấy $\pi\approx3,14$ và coi chiều dày của thùng không đáng kể).,a) Tính diện tích xung quanh của thùng đựng nước.,b) Sau một thời gian gia đình bạn Khánh sử dụng nước trong thùng,thì mực nước còn lại đã thấp hơn 40 cm so với mực nước ban đầu.,Tính thể tích nước trong thùng mà gia đình bạn Khánh đã sử dụng trong,khoảng thời gian đó.,2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB<AC),$ nội tiếp đường tròn (O). Đường cao,AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại điểm E (E khác A). Gọi K là chân đường,vuông góc kẻ từ điểm E đến đường thẳng AB.,a) Chứng minh bốn điểm E,D,B,K cùng thuộc một đường tròn.,b) Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm S. Chứng minh EA là tia phân giác,của góc CEK và AB. $AC=AE.AS.$,c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng AB.,Chứng minh đường thẳng SI vuông góc với đường thẳng HK.,Câu V (0,5 điểm),Một công ty kinh doanh trong lĩnh vực vận tải đang vận hành một đội gồm 35 xe chở hàng,cùng loại, với lợi nhuận trung bình của mỗi xe là 1 triệu đồng một ngày. Để mở rộng mô hình,kinh doanh, công ty dự định bổ sung một số xe chở hàng cùng loại với xe đang vận hành.,Công ty đã tiến hành khảo sát và phân tích thị trường, kết quả cho thấy: cứ bổ sung một xe,chở hàng cùng loại vào hoạt động thì lợi nhuận trung bình của mỗi xe trong cả đội lại giảm đi,20 nghìn đồng một ngày. Hỏi công ty nên bổ sung bao nhiêu xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận,trung bình mỗi ngày của đội xe là lớn nhất?

Accepted Answer

Câu IV:
1) Thùng đựng nước hình trụ:

a) Tính diện tích xung quanh của thùng đựng nước:

Diện tích xung quanh của hình trụ được tính bằng công thức:
$$ S_{xq} = 2\pi rh $$

Với $ r = 50 $ cm và $ h = 150 $ cm, ta có:
$$ S_{xq} = 2 \times 3,14 \times 50 \times 150 = 47100 \, \text{cm}^2 $$

b) Tính thể tích nước đã sử dụng:

Thể tích của hình trụ được tính bằng công thức:
$$ V = \pi r^2 h $$

Thể tích nước ban đầu trong thùng:
$$ V_1 = 3,14 \times 50^2 \times 150 $$

Thể tích nước còn lại trong thùng (sau khi mực nước giảm 40 cm):
$$ V_2 = 3,14 \times 50^2 \times (150 - 40) = 3,14 \times 50^2 \times 110 $$

Thể tích nước đã sử dụng:
$$ V_{used} = V_1 - V_2 = 3,14 \times 50^2 \times 150 - 3,14 \times 50^2 \times 110 $$
$$ V_{used} = 3,14 \times 50^2 \times (150 - 110) = 3,14 \times 50^2 \times 40 $$
$$ V_{used} = 3,14 \times 2500 \times 40 = 314000 \, \text{cm}^3 $$

2) Tam giác ABC:

a) Chứng minh bốn điểm E, D, B, K cùng thuộc một đường tròn:

- Do $ AD $ là đường cao, $ \angle ADE = 90^\circ $.
- $ EK $ vuông góc với $ AB $, nên $ \angle EKB = 90^\circ $.

Vì $ \angle ADE = \angle EKB = 90^\circ $, nên tứ giác $ EDBK $ nội tiếp đường tròn đường kính $ DE $.

b) Chứng minh EA là tia phân giác của góc CEK và AB. $ AC = AE \cdot AS $:

- Do $ E $ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $, nên $ \angle AEC = \angle ABC $.
- $ EA $ là tia phân giác của góc $ CEK $ do $ \angle AEC = \angle KEA $.

Chứng minh $ AC = AE \cdot AS $ cần thêm thông tin hoặc giả thiết.

c) Chứng minh đường thẳng SI vuông góc với đường thẳng HK:

- $ H $ là trực tâm, nên $ AH \perp BC $.
- $ I $ là trung điểm của $ AB $, nên $ AI = IB $.

Do đó, $ SI $ là đường trung bình của tam giác $ AHB $, nên $ SI \parallel HK $.

Vì $ SI \parallel HK $ và $ AH \perp BC $, nên $ SI \perp HK $.

Vậy, đường thẳng $ SI $ vuông góc với đường thẳng $ HK $.

Câu V:
Gọi số xe chở hàng cùng loại mà công ty sẽ bổ sung là x (xe, điều kiện: x ≥ 0).

Lúc đầu, công ty có 35 xe chở hàng, với lợi nhuận trung bình của mỗi xe là 1 triệu đồng một ngày.

Khi bổ sung x xe chở hàng, tổng số xe chở hàng của công ty là 35 + x xe.

Theo khảo sát và phân tích thị trường, cứ bổ sung một xe chở hàng cùng loại vào hoạt động thì lợi nhuận trung bình của mỗi xe trong cả đội lại giảm đi 20 nghìn đồng một ngày. Do đó, lợi nhuận trung bình của mỗi xe khi bổ sung x xe chở hàng là:
$$ 1.000.000 - 20.000x \text{ (đồng)} $$

Tổng lợi nhuận trung bình mỗi ngày của đội xe là:
$$ (35 + x)(1.000.000 - 20.000x) \text{ (đồng)} $$

Ta cần tìm giá trị của x sao cho tổng lợi nhuận trung bình mỗi ngày của đội xe là lớn nhất.

Bây giờ ta sẽ viết biểu thức này dưới dạng một hàm số:
$$ P(x) = (35 + x)(1.000.000 - 20.000x) $$

Phân phối và rút gọn biểu thức:
$$ P(x) = 35 \cdot 1.000.000 + 35 \cdot (-20.000x) + x \cdot 1.000.000 + x \cdot (-20.000x) $$
$$ P(x) = 35.000.000 - 700.000x + 1.000.000x - 20.000x^2 $$
$$ P(x) = 35.000.000 + 300.000x - 20.000x^2 $$

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ P(x) $, ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương hoặc tìm đỉnh của parabol. Hàm số $ P(x) $ là một hàm bậc hai có dạng $ ax^2 + bx + c $, trong đó $ a = -20.000 $, $ b = 300.000 $, và $ c = 35.000.000 $.

Đỉnh của parabol $ P(x) $ nằm tại:
$$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{300.000}{2 \cdot (-20.000)} = \frac{300.000}{40.000} = 7.5 $$

Do x phải là số nguyên, ta kiểm tra hai giá trị gần nhất là x = 7 và x = 8.

- Khi x = 7:
$$ P(7) = 35.000.000 + 300.000 \cdot 7 - 20.000 \cdot 7^2 $$
$$ P(7) = 35.000.000 + 2.100.000 - 20.000 \cdot 49 $$
$$ P(7) = 35.000.000 + 2.100.000 - 980.000 $$
$$ P(7) = 36.120.000 \text{ (đồng)} $$

- Khi x = 8:
$$ P(8) = 35.000.000 + 300.000 \cdot 8 - 20.000 \cdot 8^2 $$
$$ P(8) = 35.000.000 + 2.400.000 - 20.000 \cdot 64 $$
$$ P(8) = 35.000.000 + 2.400.000 - 1.280.000 $$
$$ P(8) = 36.120.000 \text{ (đồng)} $$

Cả hai giá trị x = 7 và x = 8 đều cho cùng một giá trị lợi nhuận trung bình mỗi ngày là 36.120.000 đồng.

Vậy công ty nên bổ sung 7 hoặc 8 xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung bình mỗi ngày của đội xe là lớn nhất.