Giải phương trình. Giải phương trình lượng giác: $\cos2x+2\cos x+2\cos(\frac{2023\pi}2-x)=0.$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình lượng giác $\cos2x + 2\cos x + 2\cos\left(\frac{2023\pi}{2} - x\right) = 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Sử dụng công thức biến đổi góc phụ:
   $$
   \cos\left(\frac{2023\pi}{2} - x\right)
   $$
   Ta biết rằng:
   $$
   \cos\left(\frac{2023\pi}{2} - x\right) = \cos\left(1011\pi + \frac{\pi}{2} - x\right)
   $$
   Vì $\cos(\theta + 2k\pi) = \cos\theta$ và $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$, ta có:
   $$
   \cos\left(1011\pi + \frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
   $$
   Và:
   $$
   \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x
   $$
   Do đó:
   $$
   \cos\left(\frac{2023\pi}{2} - x\right) = -\sin x
   $$

2. Thay vào phương trình ban đầu:
   $$
   \cos2x + 2\cos x + 2(-\sin x) = 0
   $$
   $$
   \cos2x + 2\cos x - 2\sin x = 0
   $$

3. Sử dụng công thức $\cos2x = 2\cos^2 x - 1$:
   $$
   2\cos^2 x - 1 + 2\cos x - 2\sin x = 0
   $$

4. Nhóm các hạng tử:
   $$
   2\cos^2 x + 2\cos x - 2\sin x - 1 = 0
   $$

5. Biến đổi phương trình thành dạng dễ giải hơn:
   $$
   2\cos^2 x + 2\cos x - 2\sin x = 1
   $$

6. Chuyển vế để tạo ra phương trình bậc hai:
   $$
   2\cos^2 x + 2\cos x - 2\sin x - 1 = 0
   $$

7. Giải phương trình này bằng cách thử các giá trị đặc biệt của $x$:
   - Thử $x = 0$:
     $$
     \cos2(0) + 2\cos(0) - 2\sin(0) = 1 + 2 - 0 = 3 \neq 0
     $$
   - Thử $x = \frac{\pi}{2}$:
     $$
     \cos2\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 + 0 - 2 = -3 \neq 0
     $$
   - Thử $x = \pi$:
     $$
     \cos2(\pi) + 2\cos(\pi) - 2\sin(\pi) = 1 - 2 - 0 = -1 \neq 0
     $$
   - Thử $x = \frac{3\pi}{2}$:
     $$
     \cos2\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 + 0 + 2 = 1 \neq 0
     $$

8. Kết luận:
   Phương trình không có nghiệm trong khoảng $[0, 2\pi]$. Tuy nhiên, do tính tuần hoàn của các hàm lượng giác, nghiệm tổng quát của phương trình là:
   $$
   x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
   $$

Đáp số: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}$