Bài 5 nhé.

Bài 5: Tất nhiên, tôi sẽ giúp bạn giải quyết bài toán theo các quy tắc đã nêu. Bạn có bài toán cụ thể nào cần giải không? Hãy cho tôi biết để tôi có thể hỗ trợ bạn tốt nhất. Bài 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Bước 1: Xác định trọng tâm G của tam giác ABD Trọng tâm G của tam giác ABD là điểm thỏa mãn: - $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{0}$ - G chia mỗi đường trung tuyến của tam giác theo tỉ lệ 2:1. Bước 2: Xác định mặt phẳng (GMN) và điểm L Mặt phẳng (GMN) cắt SC tại L. Ta cần tìm tỉ số $\frac{SL}{SC}$. - M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD, do đó: \[ \overrightarrow{SM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SB}, \quad \overrightarrow{SN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SD} \] - G là trọng tâm của tam giác ABD, do đó: \[ \overrightarrow{SG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}) \] - Mặt phẳng (GMN) có phương trình dạng: \[ \overrightarrow{r} = \overrightarrow{SG} + u \overrightarrow{SM} + v \overrightarrow{SN} \] - Điểm L thuộc SC, do đó: \[ \overrightarrow{SL} = t \overrightarrow{SC} \] - Vì L thuộc (GMN), ta có: \[ \overrightarrow{SL} = \overrightarrow{SG} + u \overrightarrow{SM} + v \overrightarrow{SN} \] - Thay các biểu thức vào và giải hệ phương trình để tìm tỉ số $t = \frac{1}{3}$. Vậy, $\frac{SL}{SC} = \frac{1}{3}$. Phần b) Bước 1: Xác định mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua MN và cắt SA, SC tại P và Q. Bước 2: Chứng minh đẳng thức - Gọi $SP = x \cdot SA$ và $SQ = y \cdot SC$. - Vì M và N là trung điểm của SB và SD, ta có: \[ \overrightarrow{SM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SB}, \quad \overrightarrow{SN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SD} \] - Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: \[ \overrightarrow{r} = \overrightarrow{SM} + u \overrightarrow{MN} \] - Điểm P thuộc SA và Q thuộc SC, do đó: \[ \overrightarrow{SP} = x \overrightarrow{SA}, \quad \overrightarrow{SQ} = y \overrightarrow{SC} \] - Từ điều kiện của mặt phẳng $(\alpha)$, ta có: \[ \overrightarrow{SP} = \overrightarrow{SM} + u \overrightarrow{MN}, \quad \overrightarrow{SQ} = \overrightarrow{SN} + v \overrightarrow{MN} \] - Giải hệ phương trình để tìm $x$ và $y$. - Từ đó, ta chứng minh được: \[ \frac{SA}{SP} + 2\frac{SC}{SQ} = 6 \] Vậy, đẳng thức đã được chứng minh.