Giúp mình với!

Trước hết ta thấy rằng nếu \( f \) là hàm hằng thì dễ dàng suy ra \( f \equiv 0 \). Ta xét trường hợp \( f \) không là hàm hằng. Ta sẽ chứng minh \( f \) là đơn ánh. Giả sử \( f(a) = f(b) \). Thay \( y = x - a \) vào phương trình hàm ta được: \[ f(af(x)) = f((x-a)f(x-a)) + a^2 \] Thay \( y = x - b \) vào phương trình hàm ta được: \[ f(bf(x)) = f((x-b)f(x-b)) + b^2 \] Do \( f(a) = f(b) \) nên \( af(x) = bf(x) \) với mọi \( x \). Nếu \( f(x) \neq 0 \) thì \( a = b \). Vậy \( f \) là đơn ánh. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh \( f \) là hàm tuyến tính. Giả sử \( f(x) = kx + m \). Thay vào phương trình hàm ta được: \[ f((x-y)(kx+m)) = f(y(k(x-y)+m)) + (x-y)^2 \] \[ f(kx(x-y) + m(x-y)) = f(yk(x-y) + ym) + (x-y)^2 \] \[ k(kx(x-y) + m(x-y)) + m = k(yk(x-y) + ym) + m + (x-y)^2 \] \[ k^2x(x-y) + km(x-y) + m = k^2y(x-y) + kym + m + (x-y)^2 \] \[ k^2x(x-y) + km(x-y) = k^2y(x-y) + kym + (x-y)^2 \] \[ k^2x(x-y) - k^2y(x-y) + km(x-y) - kym = (x-y)^2 \] \[ k^2(x-y)(x-y) + km(x-y) - kym = (x-y)^2 \] \[ k^2(x-y)^2 + km(x-y) - kym = (x-y)^2 \] So sánh hai vế ta được: \[ k^2 = 1 \] \[ km = 0 \] Từ đó suy ra \( k = 1 \) hoặc \( k = -1 \). Nếu \( k = 1 \) thì \( m = 0 \). Vậy \( f(x) = x \). Nếu \( k = -1 \) thì \( m = 0 \). Vậy \( f(x) = -x \). Kiểm tra lại ta thấy \( f(x) = x \) và \( f(x) = -x \) đều thỏa mãn phương trình hàm. Vậy các hàm thỏa mãn phương trình hàm là \( f(x) = x \) và \( f(x) = -x \).