Tính a² + b². Câu 1: Cho dãy số $(u_n)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_n=3n^2+5n+1;n\in\mathbb{N}^*.$ Biết $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(2n-1)^2}{u_{n^2+1}}=\frac ab,\frac ab$ là,phân số tối giản. Tính $a^2+b^2$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm số hạng tổng quát $ u_n $ của dãy số, ta sử dụng công thức:
$$ u_n = S_n - S_{n-1} $$

Trước hết, ta tính $ S_{n-1} $:
$$ S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 5(n-1) + 1 $$
$$ = 3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5 + 1 $$
$$ = 3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5 + 1 $$
$$ = 3n^2 - n - 1 $$

Bây giờ, ta tính $ u_n $:
$$ u_n = S_n - S_{n-1} $$
$$ = (3n^2 + 5n + 1) - (3n^2 - n - 1) $$
$$ = 3n^2 + 5n + 1 - 3n^2 + n + 1 $$
$$ = 6n + 2 $$

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
$$ u_n = 6n + 2 $$

Tiếp theo, ta cần tìm giới hạn:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)^2}{u_{n^2+1}} $$

Ta thay $ u_{n^2+1} $ bằng biểu thức đã tìm được:
$$ u_{n^2+1} = 6(n^2+1) + 2 $$
$$ = 6n^2 + 6 + 2 $$
$$ = 6n^2 + 8 $$

Do đó, giới hạn trở thành:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)^2}{6n^2 + 8} $$

Mở rộng tử số:
$$ (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1 $$

Vậy giới hạn là:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 - 4n + 1}{6n^2 + 8} $$

Chia cả tử số và mẫu số cho $ n^2 $:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}}{6 + \frac{8}{n^2}} $$

Khi $ n \to \infty $, các số hạng chứa $ \frac{1}{n} $ và $ \frac{1}{n^2} $ sẽ tiến về 0:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{4 - 0 + 0}{6 + 0} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

Vậy:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)^2}{u_{n^2+1}} = \frac{2}{3} $$

Phân số tối giản $ \frac{a}{b} $ là $ \frac{2}{3} $, do đó $ a = 2 $ và $ b = 3 $.

Tính $ a^2 + b^2 $:
$$ a^2 + b^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 $$

Đáp số: $ a^2 + b^2 = 13 $.