chứng minh BĐT côsi

Question

chứng minh BĐT côsi

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5421272,"userName":"tranan2012"}

Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

$$\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\forall a,b\ge0$$

Đẳng thức $$\sqrt{ab}=\frac{a+b}{2}$$ xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ví dụ: Tìm min $$A=x+\frac{7}{x}\left(x>0\right)$$

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương:

$$x+\frac{7}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{7}{x}}=2\sqrt{7}$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $$x=\frac{7}{x}\Leftrightarrow x^2=7\Leftrightarrow x=\sqrt{7}\left(x>0\right)$$

Vậy $$\min A=2\sqrt{7}\Leftrightarrow x=\sqrt{7}$$.

Timi · Answer

Bất đẳng thức Cô-si (Cô-si) phát biểu rằng: Với mọi số thực không âm $a$ và $b$, ta có:
$$ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.

Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này từng bước như sau:

1. Xét hiệu giữa hai vế của bất đẳng thức:
$$ \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} $$

2. Nhân cả hai vế của hiệu trên với 2 để đơn giản hóa:
$$ a + b - 2\sqrt{ab} $$

3. Ta thấy rằng:
$$ a + b - 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 $$

4. Vì bình phương của một số luôn không âm, nên:
$$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0 $$

5. Do đó:
$$ a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0 $$

6. Suy ra:
$$ a + b \geq 2\sqrt{ab} $$

7. Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho 2:
$$ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $$

8. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$$ \sqrt{a} - \sqrt{b} = 0 $$
$$ \sqrt{a} = \sqrt{b} $$
$$ a = b $$

Vậy, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức Cô-si:
$$ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.