Câu 24. Trắc nghiệm đúng/sai. Câu 24: Cho phương trình $m.3^{x^2-3x+2}+3^{4-x^2}=3^{6-3x}+m.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Phương trình luôn có một nghiệm là 1 với mọi giá trị của m .,b) Với $\forall x\in(3;7)$ thì $3^{x^2-3x+2}3^{6-3x}.$,c) Khi $m=243$ thì tổng các nghiệm của phương trình là 4.,d) Có 3 giá trị nguyên dương của m để phương trình có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Question

Câu 24. Trắc nghiệm đúng/sai. Câu 24: Cho phương trình $m.3^{x^2-3x+2}+3^{4-x^2}=3^{6-3x}+m.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Phương trình luôn có một nghiệm là 1 với mọi giá trị của m .,b) Với $\forall x\in(3;7)$ thì $3^{x^2-3x+2}>3^{6-3x}.$,c) Khi $m=243$ thì tổng các nghiệm của phương trình là 4.,d) Có 3 giá trị nguyên dương của m để phương trình có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Accepted Answer

Câu 24:
Tất nhiên, tôi sẵn sàng giúp bạn giải quyết các bài toán trắc nghiệm đúng/sai. Vui lòng cung cấp bài toán cụ thể mà bạn cần giải quyết, và tôi sẽ hướng dẫn bạn từng bước để tìm ra đáp án chính xác.

Câu 24:
a) Thay $ x = 1 $ vào phương trình ta thấy thỏa mãn với mọi $ m $. Vậy phương trình luôn có một nghiệm là 1 với mọi giá trị của $ m $. Mệnh đề này đúng.

b) Xét $ f(t) = 3^t $ là hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R} $. Ta có $ x \in (3;7) \Rightarrow x^2 - 3x + 2 > 6 - 3x \Rightarrow 3^{x^2-3x+2} > 3^{6-3x} $. Mệnh đề này đúng.

c) Với $ m = 243 $, phương trình trở thành $ 243.3^{x^2-3x+2} + 3^{4-x^2} = 3^{6-3x} + 243 $. Chia cả hai vế cho 243 ta được $ 3^{x^2-3x+2} + \frac{1}{243}.3^{4-x^2} = \frac{1}{243}.3^{6-3x} + 1 $. Đặt $ t = 3^{x^2-3x+2} $, ta có $ 3^{4-x^2} = \frac{9}{t} $ và $ 3^{6-3x} = \frac{729}{t} $. Phương trình trở thành $ t + \frac{9}{243t} = \frac{729}{243t} + 1 \Leftrightarrow t^2 - t - 9 = 0 $. Giải ra ta được $ t = 3 $ hoặc $ t = -2 $ (loại). Suy ra $ 3^{x^2-3x+2} = 3 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = 1 $ hoặc $ x = 2 $. Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 3. Mệnh đề này sai.

d) Ta có $ m.3^{x^2-3x+2} + 3^{4-x^2} = 3^{6-3x} + m \Leftrightarrow m(3^{x^2-3x+2} - 1) = 3^{6-3x} - 3^{4-x^2} $. Đặt $ t = 3^{x^2-3x+2} $, ta có $ 3^{4-x^2} = \frac{9}{t} $ và $ 3^{6-3x} = \frac{729}{t} $. Phương trình trở thành $ m(t - 1) = \frac{729}{t} - \frac{9}{t} \Leftrightarrow mt^2 - mt - 720 = 0 $. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thực phân biệt thì phương trình $ mt^2 - mt - 720 = 0 $ phải có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi $ \Delta = m^2 + 4.720.m > 0 $ và $ \frac{-720}{m} > 0 $. Giải ra ta được $ m < -720 $ hoặc $ m > 0 $. Vậy có 3 giá trị nguyên dương của $ m $ là 1, 2, 3. Mệnh đề này đúng.