Giúp em với ạ cô Tiang,Câu 13: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^\prime(x)=(1-x)^2(x+1)^3(3-x).$ Hàm số,$y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-\infty;1).$ $B.~(-\infty;-1).$ $C.~(1;3).$ $D.~(3;+\infty).$,Câu 14: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)?$,$A.~y=\frac{x-1}{x-2}$ $B.~y=x^3+x$ $C.~y=-x^3-3x$ $D.~y=\frac{x+1}{x+3}$,Câu 15: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau,,Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$ B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$,Câu 16: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên,khoảng nào dưới đây?,,$A.~(1;+\infty).$ $B.~(-\infty;1).$ $C.~(-1;+\infty).$ $D.~(-\infty;-1).$,Câu 17: Cho hàm số $y=\sqrt{x^2-1}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty).$ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0).$,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty).$ D. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;+\infty).$,Câu 18: Hàm số $y=2x^4+1$ đồng biến trên khoảng,$A.~(-\infty;-\frac12)$ $B.~(-\frac12;+\infty)$ $C.~(0;+\infty)$ $D.~(-\infty;0)$,Câu 19: Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập,xác định của nó. $(I).~y=\frac{2x+1}{x+1},~(II).~y=-x^4+x^2-2,~(III).~y=x^3+3x-4.$,A. (1);(III). B.(I) & (II). C. (II);(III). D. (II).

Question

Giúp em với ạ cô Tiang,Câu 13: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^\prime(x)=(1-x)^2(x+1)^3(3-x).$ Hàm số,$y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-\infty;1).$ $B.~(-\infty;-1).$ $C.~(1;3).$ $D.~(3;+\infty).$,Câu 14: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty)?$,$A.~y=\frac{x-1}{x-2}$ $B.~y=x^3+x$ $C.~y=-x^3-3x$ $D.~y=\frac{x+1}{x+3}$,Câu 15: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau,

,Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$ B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$,Câu 16: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên,khoảng nào dưới đây?,

,$A.~(1;+\infty).$ $B.~(-\infty;1).$ $C.~(-1;+\infty).$ $D.~(-\infty;-1).$,Câu 17: Cho hàm số $y=\sqrt{x^2-1}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty).$ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0).$,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty).$ D. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;+\infty).$,Câu 18: Hàm số $y=2x^4+1$ đồng biến trên khoảng,$A.~(-\infty;-\frac12)$ $B.~(-\frac12;+\infty)$ $C.~(0;+\infty)$ $D.~(-\infty;0)$,Câu 19: Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập,xác định của nó. $(I).~y=\frac{2x+1}{x+1},~(II).~y=-x^4+x^2-2,~(III).~y=x^3+3x-4.$,A. (1);(III). B.(I) & (II). C. (II);(III). D. (II).

Accepted Answer

Câu 13: Để xác định khoảng mà hàm số $ y = f(x) $ đồng biến, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $. Đạo hàm đã cho là: $$ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^3 (3 - x) $$ Bước 1: Xác định các điểm tới hạn (nơi đạo hàm bằng 0): $$ (1 - x)^2 = 0 \implies x = 1 $$ $$ (x + 1)^3 = 0 \implies x = -1 $$ $$ (3 - x) = 0 \implies x = 3 $$ Như vậy, các điểm tới hạn là $ x = -1, 1, 3 $. Bước 2: Xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: - Khoảng $ (-\infty, -1) $ - Khoảng $ (-1, 1) $ - Khoảng $ (1, 3) $ - Khoảng $ (3, +\infty) $ Bước 3: Chọn một giá trị trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của $ f'(x) $: 1. Khoảng $ (-\infty, -1) $: Chọn $ x = -2 $: $$ f'(-2) = (1 - (-2))^2 ((-2) + 1)^3 (3 - (-2)) = (3)^2 (-1)^3 (5) = 9 \cdot (-1) \cdot 5 = -45 $$ Dấu âm. 2. Khoảng $ (-1, 1) $: Chọn $ x = 0 $: $$ f'(0) = (1 - 0)^2 (0 + 1)^3 (3 - 0) = (1)^2 (1)^3 (3) = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3 $$ Dấu dương. 3. Khoảng $ (1, 3) $: Chọn $ x = 2 $: $$ f'(2) = (1 - 2)^2 (2 + 1)^3 (3 - 2) = (-1)^2 (3)^3 (1) = 1 \cdot 27 \cdot 1 = 27 $$ Dấu dương. 4. Khoảng $ (3, +\infty) $: Chọn $ x = 4 $: $$ f'(4) = (1 - 4)^2 (4 + 1)^3 (3 - 4) = (-3)^2 (5)^3 (-1) = 9 \cdot 125 \cdot (-1) = -1125 $$ Dấu âm. Bước 4: Kết luận: Hàm số $ y = f(x) $ đồng biến trên các khoảng mà đạo hàm $ f'(x) $ dương, tức là: - Khoảng $ (-1, 1) $ - Khoảng $ (1, 3) $ Trong các đáp án đã cho, khoảng $ (1, 3) $ là khoảng mà hàm số đồng biến. Do đó, đáp án đúng là: $$ C.~(1;3) $$ Câu 14: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng $(- \infty; +\infty)$, chúng ta cần kiểm tra tính đơn điệu của từng hàm số bằng cách xét đạo hàm của chúng. A. $ y = \frac{x-1}{x-2} $ Điều kiện xác định: $ x \neq 2 $. Tính đạo hàm: $$ y' = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2} $$ Do $(x-2)^2 > 0$ với mọi $ x \neq 2 $, nên $ y' < 0 $ với mọi $ x \neq 2 $. Vậy hàm số này nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. B. $ y = x^3 + x $ Tính đạo hàm: $$ y' = 3x^2 + 1 $$ Do $ 3x^2 + 1 > 0 $ với mọi $ x $, nên $ y' > 0 $ với mọi $ x $. Vậy hàm số này đồng biến trên khoảng $(- \infty; +\infty)$. C. $ y = -x^3 - 3x $ Tính đạo hàm: $$ y' = -3x^2 - 3 $$ Do $ -3x^2 - 3 < 0 $ với mọi $ x $, nên $ y' < 0 $ với mọi $ x $. Vậy hàm số này nghịch biến trên khoảng $(- \infty; +\infty)$. D. $ y = \frac{x+1}{x+3} $ Điều kiện xác định: $ x \neq -3 $. Tính đạo hàm: $$ y' = \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+3)^2} = \frac{2}{(x+3)^2} $$ Do $(x+3)^2 > 0$ với mọi $ x \neq -3 $, nên $ y' > 0 $ với mọi $ x \neq -3 $. Vậy hàm số này đồng biến trên các khoảng $(- \infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$. Kết luận Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số $ y = x^3 + x $ là đồng biến trên toàn bộ khoảng $(- \infty; +\infty)$. Đáp án đúng là: $ B.~y = x^3 + x $. Câu 15: Để xác định mệnh đề đúng, ta cần phân tích bảng xét dấu của đạo hàm $ y' $. 1. Khoảng $(- \infty, -2)$: - Dấu của $ y' $ là dương (+), do đó hàm số $ y = f(x) $ đồng biến trên khoảng này. 2. Khoảng $(-2, 0)$: - Dấu của $ y' $ là âm (-), do đó hàm số $ y = f(x) $ nghịch biến trên khoảng này. 3. Khoảng $(0, 2)$: - Dấu của $ y' $ là âm (-), do đó hàm số $ y = f(x) $ nghịch biến trên khoảng này. 4. Khoảng $(2, +\infty)$: - Dấu của $ y' $ là dương (+), do đó hàm số $ y = f(x) $ đồng biến trên khoảng này. Dựa vào phân tích trên, ta có: - Mệnh đề A: Sai, vì hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty, -2)$. - Mệnh đề B: Sai, vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2, 0)$. - Mệnh đề C: Sai, vì hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng $(- \infty, 0)$. - Mệnh đề D: Đúng, vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$. Vậy, mệnh đề đúng là D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$. Câu 16: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = f(x) $, ta cần xem xét dấu của đạo hàm $ y' = f'(x) $. Dựa vào bảng xét dấu của $ y' $: - Trên khoảng $(- \infty, -1)$, $ y' < 0 $ nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(-1, 1)$, $ y' < 0 $ nên hàm số cũng nghịch biến. - Tại $ x = 1 $, $ y' = 0 $. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, $ y' > 0 $ nên hàm số đồng biến. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty, -1)$ và $(-1, 1)$. Do đó, đáp án đúng là $ B.~(-\infty;1) $. Câu 17: Để xác định tính đơn điệu của hàm số $ y = \sqrt{x^2 - 1} $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ): Hàm số $ y = \sqrt{x^2 - 1} $ có nghĩa khi $ x^2 - 1 \geq 0 $. $$ x^2 - 1 \geq 0 \implies x^2 \geq 1 \implies |x| \geq 1 \implies x \leq -1 \text{ hoặc } x \geq 1 $$ Vậy TXĐ của hàm số là $ (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $. 2. Tính đạo hàm: Ta có $ y = \sqrt{x^2 - 1} $. Để tìm đạo hàm $ y' $, ta sử dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: $$ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 1} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm: - Trên khoảng $ (1, +\infty) $: $$ x > 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{x^2 - 1} > 0 \implies y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > 0 $$ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $ (1, +\infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, -1) $: $$ x < 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{x^2 - 1} > 0 \implies y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} < 0 $$ Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-\infty, -1) $. 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên khoảng $ (1, +\infty) $. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-\infty, -1) $. Do đó, đáp án đúng là: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $ (1; +\infty) $. Câu 18: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $ y = 2x^4 + 1 $, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(2x^4 + 1) = 8x^3 $$ 2. Xét dấu của đạo hàm $ y' = 8x^3 $: - Đạo hàm $ y' = 8x^3 $ dương khi $ x > 0 $. - Đạo hàm $ y' = 8x^3 $ âm khi $ x < 0 $. 3. Kết luận: - Hàm số $ y = 2x^4 + 1 $ đồng biến khi $ y' > 0 $, tức là khi $ x > 0 $. - Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $ (0; +\infty) $. Vậy đáp án đúng là: $$ C.~(0;+\infty) $$ Câu 19: Ta lần lượt xét tính đơn điệu của các hàm số đã cho: (I) $ y = \frac{2x + 1}{x + 1} $ Tập xác định: $ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $. Đạo hàm: $$ y' = \frac{(2)(x + 1) - (2x + 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} $$ Do $ y' > 0 $ với mọi $ x \neq -1 $, nên hàm số này luôn đồng biến trên mỗi khoảng của tập xác định của nó. Vậy hàm số này không có khoảng nghịch biến. (II) $ y = -x^4 + x^2 - 2 $ Tập xác định: $ D = \mathbb{R} $. Đạo hàm: $$ y' = -4x^3 + 2x $$ $$ y' = -2x(2x^2 - 1) $$ Xét dấu của $ y' $: - $ y' = 0 $ khi $ x = 0 $ hoặc $ x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} $ - $ y' > 0 $ khi $ -\sqrt{\frac{1}{2}} < x < 0 $ hoặc $ x > \sqrt{\frac{1}{2}} $ - $ y' < 0 $ khi $ x < -\sqrt{\frac{1}{2}} $ hoặc $ 0 < x < \sqrt{\frac{1}{2}} $ Như vậy, hàm số này có khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến trên tập xác định của nó. (III) $ y = x^3 + 3x - 4 $ Tập xác định: $ D = \mathbb{R} $. Đạo hàm: $$ y' = 3x^2 + 3 $$ Do $ y' > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $, nên hàm số này luôn đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. Vậy hàm số này không có khoảng nghịch biến. Kết luận: Hàm số vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập xác định của nó là (II). Đáp án đúng là: D. (II).