cho tam giác ABC cân tại A. kẻ phân giác AD ( D thuộc BC )trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AB. Trên tia phân giác của EAC lấy điểm F sao cho AF = BD c/m: a) AD vuông góc với BC b) EF =...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vẽ hình và lập luận từng bước theo yêu cầu của đề bài. Dưới đây là các bước giải chi tiết: Vẽ hình 1. Vẽ tam giác cân \( \triangle ABC \) với \( AB = AC \). 2. Kẻ phân giác \( AD \) của góc \( \angle BAC \) sao cho \( D \) thuộc cạnh \( BC \). 3. Trên tia đối của tia \( AB \), lấy điểm \( E \) sao cho \( AE = AB \). 4. Trên tia phân giác của góc \( \angle EAC \), lấy điểm \( F \) sao cho \( AF = BD \). Chứng minh a) Chứng minh \( AD \) vuông góc với \( BC \) - Vì \( \triangle ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \). - \( AD \) là phân giác của góc \( \angle BAC \), do đó \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \) là hai tam giác cân tại \( A \). - Do đó, \( BD = DC \). - Vì \( AD \) là phân giác và \( BD = DC \), nên \( AD \) cũng là đường trung trực của \( BC \). - Vậy \( AD \) vuông góc với \( BC \). b) Chứng minh \( EF = AD \) - Ta có \( AE = AB \) và \( AF = BD \). - Xét tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ADF \): - \( AE = AB \) (giả thiết). - \( AF = BD \) (giả thiết). - \( \angle BAE = \angle DAF \) (vì \( AF \) nằm trên phân giác của \( \angle EAC \)). - Do đó, \( \triangle ABE \) và \( \triangle ADF \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). - Suy ra \( EF = AD \). c) Chứng minh \( AF \parallel BC \) - Từ phần a), ta có \( AD \perp BC \). - Từ phần b), ta có \( EF = AD \). - Do đó, \( EF \) cũng vuông góc với \( BC \). - Vì \( EF \) vuông góc với \( BC \), nên \( AF \parallel BC \). d) Chứng minh các điểm \( E, F, C \) thẳng hàng - Từ phần c), ta có \( AF \parallel BC \). - Vì \( F \) nằm trên phân giác của \( \angle EAC \), nên \( \angle EAF = \angle FAC \). - Do đó, \( \angle EAF + \angle FAC = 180^\circ \). - Suy ra, các điểm \( E, F, C \) thẳng hàng. Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.