Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh = 2a , hình chiếu vuông góc của S là trung điểm I của cạnh AB , biết SA= 3a

a.Tính V=?

b. Tính góc (SC,(ABCD))

c. Tính góc ((SBD),(ABCD))

d. Tính d(C,(SAB))

e. Tính d(I,(SCD))

h. Tính d(O,(SCD))

Question

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh = 2a , hình chiếu vuông góc của S là trung điểm I của cạnh AB , biết SA= 3a

a.Tính V=?

b. Tính góc (SC,(ABCD))

c. Tính góc ((SBD),(ABCD))

d. Tính d(C,(SAB))

e. Tính d(I,(SCD))

h. Tính d(O,(SCD))

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần từ a đến h.

a. Tính thể tích $ V $ của hình chóp $ SABCD $:

Hình chóp $ SABCD $ có đáy là hình vuông $ ABCD $ với cạnh $ AB = 2a $. Diện tích đáy $ ABCD $ là:
$$
S_{ABCD} = (2a)^2 = 4a^2
$$

Hình chiếu vuông góc của $ S $ là trung điểm $ I $ của cạnh $ AB $, do đó $ SI $ là đường cao của hình chóp. Ta có:
$$
SI = \frac{1}{2} \times AB = a
$$

Thể tích của hình chóp $ V $ được tính theo công thức:
$$
V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SI = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times a = \frac{4a^3}{3}
$$

b. Tính góc giữa $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $:

Để tính góc giữa $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $, ta cần tính góc giữa $ SC $ và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $ tại $ C $. Đường thẳng này chính là $ SI $.

Ta có tam giác vuông $ SIC $ với:
- $ SI = a $
- $ IC = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a $

Góc giữa $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ là góc $ \angle SCI $. Ta có:
$$
\cos \angle SCI = \frac{SI}{SC} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + (2a)^2}} = \frac{a}{\sqrt{5}a} = \frac{1}{\sqrt{5}}
$$

c. Tính góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và mặt phẳng $ (ABCD) $:

Mặt phẳng $ (SBD) $ cắt mặt phẳng $ (ABCD) $ theo giao tuyến $ BD $. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa đường thẳng $ SI $ (vuông góc với $ (ABCD) $) và đường thẳng $ SD $.

Trong tam giác vuông $ SID $, ta có:
- $ SI = a $
- $ ID = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a $

Góc giữa hai mặt phẳng là góc $ \angle SID $. Ta có:
$$
\cos \angle SID = \frac{SI}{SD} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + (2a)^2}} = \frac{a}{\sqrt{5}a} = \frac{1}{\sqrt{5}}
$$

d. Tính khoảng cách từ $ C $ đến mặt phẳng $ (SAB) $:

Mặt phẳng $ (SAB) $ có phương trình là $ z = \frac{3}{2}x $ (vì $ S $ có tọa độ $ (a, 0, 3a) $ và $ A $ có tọa độ $ (0, 0, 0) $).

Tọa độ điểm $ C $ là $ (2a, 2a, 0) $.

Khoảng cách từ $ C $ đến mặt phẳng $ (SAB) $ là:
$$
d = \frac{|3a - \frac{3}{2} \times 2a|}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2}} = \frac{|3a - 3a|}{\sqrt{1 + \frac{9}{4}}} = 0
$$

e. Tính khoảng cách từ $ I $ đến mặt phẳng $ (SCD) $:

Mặt phẳng $ (SCD) $ có phương trình là $ z = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}y $.

Tọa độ điểm $ I $ là $ (a, 0, 0) $.

Khoảng cách từ $ I $ đến mặt phẳng $ (SCD) $ là:
$$
d = \frac{|0 - \frac{3}{2}a|}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2}} = \frac{\frac{3}{2}a}{\sqrt{1 + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}}} = \frac{\frac{3}{2}a}{\sqrt{1 + \frac{9}{2}}} = \frac{\frac{3}{2}a}{\sqrt{\frac{11}{2}}} = \frac{3a}{\sqrt{11}}
$$

h. Tính khoảng cách từ $ O $ đến mặt phẳng $ (SCD) $:

Tọa độ điểm $ O $ là $ (a, a, 0) $.

Khoảng cách từ $ O $ đến mặt phẳng $ (SCD) $ là:
$$
d = \frac{|0 - \frac{3}{2}a - \frac{3}{2}a|}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2}} = \frac{3a}{\sqrt{\frac{11}{2}}} = \frac{3a}{\sqrt{11}}
$$

Vậy, chúng ta đã giải quyết xong tất cả các phần của bài toán.

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh = 2a , hình chiếu vuông góc của S là trung điểm I của cạnh AB , biết SA= 3a a.Tính V=? b. Tính góc (SC,(ABCD)) c. Tính góc ((SBD),(ABCD)) d. Tính d...