Giải phương trình. a) Giải phương trình $2\cos^2x-3\sin x=0.$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $2\cos^2 x - 3\sin x = 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi phương trình:
   Ta biết rằng $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Thay vào phương trình, ta có:
   $$
   2(1 - \sin^2 x) - 3\sin x = 0
   $$

2. Rút gọn phương trình:
   $$
   2 - 2\sin^2 x - 3\sin x = 0
   $$
   $$
   -2\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0
   $$
   Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa:
   $$
   2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0
   $$

3. Giải phương trình bậc hai:
   Đặt $y = \sin x$. Phương trình trở thành:
   $$
   2y^2 + 3y - 2 = 0
   $$
   Ta giải phương trình này bằng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ay^2 + by + c = 0$:
   $$
   y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Với $a = 2$, $b = 3$, và $c = -2$, ta có:
   $$
   y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}
   $$
   $$
   y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}
   $$
   $$
   y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4}
   $$
   $$
   y = \frac{-3 \pm 5}{4}
   $$
   Từ đó, ta có hai nghiệm:
   $$
   y = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
   $$
   $$
   y = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2
   $$

4. Kiểm tra điều kiện của nghiệm:
   Vì $\sin x$ phải nằm trong khoảng $[-1, 1]$, nên $y = -2$ không thỏa mãn. Do đó, chỉ có nghiệm $y = \frac{1}{2}$.

5. Tìm giá trị của $x$:
   $$
   \sin x = \frac{1}{2}
   $$
   Các giá trị của $x$ thỏa mãn $\sin x = \frac{1}{2}$ là:
   $$
   x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
   $$

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$
x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$