Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc C cắt AB tại E. Kẻ EK vuông góc với BC tại K. Chứng minh a, Tam giác ACE= tam giác KCE b, EC là đường trung trực của AK c, Kẻ BD vuông góc với CE t...

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần vẽ hình và xác định các yếu tố đã cho và cần chứng minh. Vẽ hình: 1. Vẽ tam giác ABC vuông tại A. 2. Vẽ tia phân giác của góc C cắt AB tại E. 3. Kẻ EK vuông góc với BC tại K. 4. Kẻ BD vuông góc với CE tại D. Chứng minh: a. Chứng minh tam giác ACE = tam giác KCE: - Xét tam giác ACE và tam giác KCE: - Cạnh CE là cạnh chung. - Góc ACE = góc KCE (vì EK vuông góc với BC nên góc KCE là góc vuông, và góc ACE cũng là góc vuông do CE là phân giác của góc C). - Cạnh AE = cạnh KE (vì E nằm trên phân giác của góc C, nên AE = KE). Do đó, tam giác ACE bằng tam giác KCE theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). b. Chứng minh EC là đường trung trực của AK: - Từ phần a, ta có tam giác ACE = tam giác KCE, do đó AE = KE. - EK vuông góc với BC tại K, nên EK cũng vuông góc với AK tại K. Vì EK là đường trung trực của AK, nên EC cũng là đường trung trực của AK. c. Chứng minh đường thẳng AC, EK và BD đồng quy: Cách 1: - Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có AC là đường cao. - EK vuông góc với BC tại K, nên EK là đường cao của tam giác BCK. - BD vuông góc với CE tại D, nên BD là đường cao của tam giác CBE. Vì AC, EK và BD đều là các đường cao của các tam giác vuông, nên chúng đồng quy tại trực tâm của tam giác ABC. Cách 2: - Gọi giao điểm của AC và BD là H. - Vì AC là đường cao của tam giác ABC, nên H nằm trên AC. - BD là đường cao của tam giác CBE, nên H cũng nằm trên BD. - EK là đường cao của tam giác BCK, nên H cũng nằm trên EK. Do đó, AC, EK và BD đồng quy tại H. Với hai cách chứng minh trên, ta đã chứng minh được rằng AC, EK và BD đồng quy.