Tìm tất cả các giá trị m. a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $\log^2_2(2x)+\log_2x+m-1=0$ có đúng 2,nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0;1).$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt $ t = \log_2 x $. Khi đó, $ x = 2^t $. 2. Phương trình ban đầu trở thành: $$ \log^2_2(2x) + \log_2 x + m - 1 = 0 $$ Thay $ t = \log_2 x $ vào, ta có: $$ (\log_2 2 + \log_2 x)^2 + \log_2 x + m - 1 = 0 $$ Vì $ \log_2 2 = 1 $, nên: $$ (1 + t)^2 + t + m - 1 = 0 $$ Rút gọn: $$ 1 + 2t + t^2 + t + m - 1 = 0 $$ $$ t^2 + 3t + m = 0 $$ 3. Để phương trình $ t^2 + 3t + m = 0 $ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $ (0;1) $, ta cần xét các điều kiện sau: - Phương trình $ t^2 + 3t + m = 0 $ phải có 2 nghiệm phân biệt. - Các nghiệm này phải nằm trong khoảng $ (0;1) $. 4. Điều kiện để phương trình $ t^2 + 3t + m = 0 $ có 2 nghiệm phân biệt là: $$ \Delta > 0 $$ $$ 9 - 4m > 0 $$ $$ m < \frac{9}{4} $$ 5. Gọi các nghiệm của phương trình $ t^2 + 3t + m = 0 $ là $ t_1 $ và $ t_2 $. Ta cần đảm bảo rằng $ t_1 $ và $ t_2 $ nằm trong khoảng $ (0;1) $. 6. Áp dụng định lý Vi-ét: $$ t_1 + t_2 = -3 $$ $$ t_1 t_2 = m $$ 7. Để $ t_1 $ và $ t_2 $ nằm trong khoảng $ (0;1) $, ta cần: $$ 0 < t_1 < 1 \quad \text{và} \quad 0 < t_2 < 1 $$ 8. Kết hợp các điều kiện trên, ta có: $$ 0 < t_1 < 1 \quad \text{và} \quad 0 < t_2 < 1 $$ $$ t_1 + t_2 = -3 $$ $$ t_1 t_2 = m $$ 9. Từ $ t_1 + t_2 = -3 $, ta thấy rằng tổng của hai nghiệm âm, do đó không thể nằm trong khoảng $ (0;1) $. 10. Do đó, không tồn tại giá trị $ m $ nào thỏa mãn điều kiện đề bài. Kết luận: Không tồn tại giá trị $ m $ nào để phương trình $ \log^2_2(2x) + \log_2 x + m - 1 = 0 $ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $ (0;1) $.