Tìm x, y thuộc Z. a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x , y thỏa mãn phương trình $2x^2-3y^2=3-xy.$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán tìm các giá trị nguyên của $ x $ và $ y $ thỏa mãn phương trình $ 2x^2 - 3y^2 = 3 - xy $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Viết lại phương trình dưới dạng dễ quan sát hơn:
   $$
   2x^2 - 3y^2 + xy - 3 = 0
   $$

2. Nhận xét về tính chẵn lẻ của các hạng tử:
   - $ 2x^2 $ luôn chẵn vì $ 2 $ nhân với bất kỳ số nguyên nào cũng cho kết quả chẵn.
   - $ 3y^2 $ luôn chia hết cho 3.
   - $ xy $ có thể chẵn hoặc lẻ tùy theo $ x $ và $ y $.
   - $ 3 $ là số lẻ.

3. Phân tích các trường hợp có thể xảy ra:

- Trường hợp 1: $ x $ chẵn.
     - Nếu $ x $ chẵn thì $ 2x^2 $ chẵn.
     - $ xy $ chẵn nếu $ y $ chẵn.
     - $ 3y^2 $ chia hết cho 3.
     - Tổng $ 2x^2 - 3y^2 + xy - 3 $ sẽ là chẵn - chia hết cho 3 + chẵn - lẻ.
     - Điều này không thể bằng 0 vì tổng của các số chẵn và số chia hết cho 3 trừ đi số lẻ không thể bằng 0.

- Trường hợp 2: $ x $ lẻ.
     - Nếu $ x $ lẻ thì $ 2x^2 $ chẵn.
     - $ xy $ lẻ nếu $ y $ lẻ.
     - $ 3y^2 $ chia hết cho 3.
     - Tổng $ 2x^2 - 3y^2 + xy - 3 $ sẽ là chẵn - chia hết cho 3 + lẻ - lẻ.
     - Điều này có thể bằng 0 nếu $ 2x^2 - 3y^2 + xy = 3 $.

4. Kiểm tra các giá trị nguyên nhỏ để tìm nghiệm cụ thể:

- Thử $ x = 1 $:
     $$
     2(1)^2 - 3y^2 + 1y - 3 = 0 \implies 2 - 3y^2 + y - 3 = 0 \implies -3y^2 + y - 1 = 0
     $$
     Phương trình này không có nghiệm nguyên.

- Thử $ x = -1 $:
     $$
     2(-1)^2 - 3y^2 + (-1)y - 3 = 0 \implies 2 - 3y^2 - y - 3 = 0 \implies -3y^2 - y - 1 = 0
     $$
     Phương trình này không có nghiệm nguyên.

- Thử $ x = 2 $:
     $$
     2(2)^2 - 3y^2 + 2y - 3 = 0 \implies 8 - 3y^2 + 2y - 3 = 0 \implies -3y^2 + 2y + 5 = 0
     $$
     Phương trình này không có nghiệm nguyên.

- Thử $ x = -2 $:
     $$
     2(-2)^2 - 3y^2 + (-2)y - 3 = 0 \implies 8 - 3y^2 - 2y - 3 = 0 \implies -3y^2 - 2y + 5 = 0
     $$
     Phương trình này không có nghiệm nguyên.

- Thử $ x = 3 $:
     $$
     2(3)^2 - 3y^2 + 3y - 3 = 0 \implies 18 - 3y^2 + 3y - 3 = 0 \implies -3y^2 + 3y + 15 = 0
     $$
     Phương trình này không có nghiệm nguyên.

- Thử $ x = -3 $:
     $$
     2(-3)^2 - 3y^2 + (-3)y - 3 = 0 \implies 18 - 3y^2 - 3y - 3 = 0 \implies -3y^2 - 3y + 15 = 0
     $$
     Phương trình này không có nghiệm nguyên.

5. Kết luận:
   Sau khi kiểm tra các giá trị nguyên nhỏ, chúng ta thấy rằng không có cặp $ (x, y) $ nào thỏa mãn phương trình $ 2x^2 - 3y^2 = 3 - xy $.

Do đó, không có nghiệm nguyên nào cho phương trình này.