Tính giá trị P.

Câu 50: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các biến a, b, c. 2. Tính giới hạn đã cho và suy ra mối quan hệ giữa a, b, c. 3. Kết hợp với điều kiện \(c^2 + a = 18\) để tìm giá trị của a, b, c. 4. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + 5c\). Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành từng bước: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Các biến a, b, c là các số thực, do đó không cần thêm điều kiện nào khác. Bước 2: Tính giới hạn và suy ra mối quan hệ giữa a, b, c Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{ax^2 + bx} - cx) = -2 \] Để tính giới hạn này, ta nhân và chia với biểu thức liên hợp: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{ax^2 + bx} - cx \right) \cdot \frac{\sqrt{ax^2 + bx} + cx}{\sqrt{ax^2 + bx} + cx} \] Kết quả là: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(ax^2 + bx) - c^2x^2}{\sqrt{ax^2 + bx} + cx} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(a - c^2)x^2 + bx}{\sqrt{ax^2 + bx} + cx} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \(x\): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(a - c^2)x + b}{\sqrt{a + \frac{b}{x}} + c} = -2 \] Do \(x \to +\infty\), nên \(\frac{b}{x} \to 0\). Do đó: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(a - c^2)x + b}{\sqrt{a} + c} = -2 \] Để giới hạn này bằng -2, ta cần: \[ \frac{a - c^2}{\sqrt{a} + c} = -2 \] Bước 3: Kết hợp với điều kiện \(c^2 + a = 18\) Từ phương trình trên, ta có: \[ a - c^2 = -2(\sqrt{a} + c) \] Kết hợp với \(c^2 + a = 18\), ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a - c^2 = -2(\sqrt{a} + c) \\ c^2 + a = 18 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được: \[ a = 9, \quad c = 3, \quad b = -6 \] Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + 5c\) Thay các giá trị \(a = 9\), \(b = -6\), \(c = 3\) vào biểu thức \(P\): \[ P = 9 + (-6) + 5 \cdot 3 = 9 - 6 + 15 = 18 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P = a + b + 5c\) là: \[ \boxed{18} \]