Câu $\rm 48$.

Câu 48: Để giải bài toán này, ta cần tìm diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Bước 1: Xác định vị trí của điểm M Do M nằm trên đoạn thẳng AD và \(AM = 2MD\), ta có thể chia đoạn AD thành 3 phần bằng nhau, trong đó \(AM = \frac{2}{3}AD\) và \(MD = \frac{1}{3}AD\). Bước 2: Xác định mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) có nghĩa là (P) sẽ cắt các cạnh bên của hình chóp S.ABCD tại các điểm sao cho các đoạn thẳng tương ứng với các cạnh của tam giác SAB sẽ tỉ lệ với các đoạn tương ứng trên tam giác SAB. Bước 3: Tìm giao điểm của (P) với các cạnh bên của hình chóp - Gọi N là giao điểm của (P) với cạnh SC. - Gọi P là giao điểm của (P) với cạnh SD. Do (P) song song với (SAB), ta có: - \(\frac{SN}{SC} = \frac{SP}{SD} = \frac{AM}{AD} = \frac{2}{3}\). Bước 4: Tính diện tích thiết diện Thiết diện là một hình bình hành vì (P) song song với (SAB) và cắt các cạnh bên của hình chóp. Diện tích của thiết diện này sẽ tỉ lệ với diện tích của tam giác SAB. Diện tích tam giác SAB là: \[ \text{Diện tích tam giác } SAB = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times 2a = a^2\sqrt{3}. \] Do thiết diện là hình bình hành có diện tích tỉ lệ với diện tích tam giác SAB theo tỉ lệ \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\), nên diện tích thiết diện là: \[ \text{Diện tích thiết diện} = \frac{4}{9} \times a^2\sqrt{3} = \frac{4a^2\sqrt{3}}{9}. \] Vậy, diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là \(\frac{4a^2\sqrt{3}}{9}\).