Tìm giá trị m.

Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), ta cần có: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+6}}{x-2} \] Ta sẽ nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp để đơn giản hóa: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt[3]{x+6}}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+6}}{\sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+6}} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt[3]{x+6})^2}{(x-2)(\sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+6})} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{(x+2) - (x+6)^{2/3}}{(x-2)(\sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+6})} \] Tiếp theo, ta cần đơn giản hóa biểu thức trên. Ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn này: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x+2) - (x+6)^{2/3}}{(x-2)(\sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+6})} \] Ta áp dụng quy tắc L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 2} \frac{1 - \frac{2}{3}(x+6)^{-1/3}}{\sqrt{x+2} + \sqrt[3]{x+6} + (x-2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} + (x-2) \cdot \frac{1}{3}(x+6)^{-2/3}} \] Thay \( x = 2 \) vào biểu thức trên: \[ \frac{1 - \frac{2}{3}(8)^{-1/3}}{\sqrt{4} + \sqrt[3]{8} + 0 + 0} \] \[ = \frac{1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}{2 + 2} \] \[ = \frac{1 - \frac{1}{3}}{4} \] \[ = \frac{\frac{2}{3}}{4} \] \[ = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \] \[ = \frac{1}{6} \] Vậy, ta có: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{6} \] Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), ta cần có: \[ \frac{1}{6} = m + 1 \] Giải phương trình này để tìm \( m \): \[ m + 1 = \frac{1}{6} \] \[ m = \frac{1}{6} - 1 \] \[ m = \frac{1}{6} - \frac{6}{6} \] \[ m = -\frac{5}{6} \] Vậy, giá trị của \( m \) là \( -\frac{5}{6} \).