Tính giá trị P. 1. Chứng minh: $\sin^4x=\frac38-\frac12\cos2x+\frac18\cos4x.$ Từ đó tính giá trị biểu thức,$P=\sin^4\frac\pi{16}+\sin^4\frac{3\pi}{16}+\sin^4\frac{5\pi}{16}+\sin^4\frac{7\pi}{16}.$

Question

Accepted Answer

Để chứng minh đẳng thức $\sin^4x=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos4x$, ta bắt đầu từ biểu thức $\sin^4x$.

1. Biến đổi $\sin^4x$:

Ta có:
   $$
   \sin^4x = (\sin^2x)^2
   $$

Sử dụng công thức $\sin^2x = \frac{1 - \cos2x}{2}$, ta có:
   $$
   \sin^4x = \left(\frac{1 - \cos2x}{2}\right)^2 = \frac{(1 - \cos2x)^2}{4}
   $$

Mở rộng biểu thức:
   $$
   (1 - \cos2x)^2 = 1 - 2\cos2x + \cos^2 2x
   $$

Thay vào, ta được:
   $$
   \sin^4x = \frac{1 - 2\cos2x + \cos^2 2x}{4}
   $$

2. Biến đổi $\cos^2 2x$:

Sử dụng công thức $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos4x}{2}$, ta có:
   $$
   \sin^4x = \frac{1 - 2\cos2x + \frac{1 + \cos4x}{2}}{4}
   $$

Đơn giản hóa:
   $$
   \sin^4x = \frac{1 - 2\cos2x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos4x}{4}
   $$

$$
   = \frac{\frac{3}{2} - 2\cos2x + \frac{1}{2}\cos4x}{4}
   $$

$$
   = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos2x + \frac{1}{8}\cos4x
   $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$
\sin^4x = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos2x + \frac{1}{8}\cos4x
$$

3. Tính giá trị biểu thức $P$:

Biểu thức cần tính là:
   $$
   P = \sin^4\frac{\pi}{16} + \sin^4\frac{3\pi}{16} + \sin^4\frac{5\pi}{16} + \sin^4\frac{7\pi}{16}
   $$

Áp dụng công thức đã chứng minh cho từng góc:
   $$
   \sin^4\frac{\pi}{16} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{8} + \frac{1}{8}\cos\frac{\pi}{4}
   $$
   $$
   \sin^4\frac{3\pi}{16} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos\frac{3\pi}{8} + \frac{1}{8}\cos\frac{3\pi}{4}
   $$
   $$
   \sin^4\frac{5\pi}{16} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos\frac{5\pi}{8} + \frac{1}{8}\cos\frac{5\pi}{4}
   $$
   $$
   \sin^4\frac{7\pi}{16} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos\frac{7\pi}{8} + \frac{1}{8}\cos\frac{7\pi}{4}
   $$

Tổng hợp lại:
   $$
   P = 4 \times \frac{3}{8} - \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{8} + \cos\frac{3\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{8} + \cos\frac{7\pi}{8}) + \frac{1}{8}(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{4} + \cos\frac{5\pi}{4} + \cos\frac{7\pi}{4})
   $$

Ta biết rằng:
   $$
   \cos\frac{\pi}{4} = \cos\frac{3\pi}{4} = \cos\frac{5\pi}{4} = \cos\frac{7\pi}{4} = 0
   $$

Và:
   $$
   \cos\frac{\pi}{8} + \cos\frac{3\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{8} + \cos\frac{7\pi}{8} = 0
   $$

Do đó:
   $$
   P = 4 \times \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $P$ là $\frac{3}{2}$.