cho tam giac ABC vuông tại H .Cm 1,AH^2 =HB.HC 2,AB^2=BC.BH 3,AC^2=BC.HC Sử dụng Pythagoras

Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( H \), ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và một số tính chất của tam giác vuông. 1. Chứng minh \( AH^2 = HB \cdot HC \): Trong tam giác vuông \( \triangle AHB \) và \( \triangle AHC \), ta có: - \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \). Theo định lý Pythagoras, ta có: - \( AH^2 = AB^2 - HB^2 \) (1) - \( AH^2 = AC^2 - HC^2 \) (2) Từ (1) và (2), ta có: \[ AB^2 - HB^2 = AC^2 - HC^2 \] Suy ra: \[ AB^2 + HC^2 = AC^2 + HB^2 \] Do \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) (theo định lý Pythagoras cho tam giác \( \triangle ABC \)), ta có: \[ AC^2 + BC^2 + HC^2 = AC^2 + HB^2 \] Suy ra: \[ BC^2 + HC^2 = HB^2 \] Từ đó, ta có: \[ AH^2 = HB \cdot HC \] 2. Chứng minh \( AB^2 = BC \cdot BH \): Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), theo định lý Pythagoras, ta có: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Do \( \triangle AHB \sim \triangle ABC \) (vì có góc chung \( \angle A \) và \( \angle AHB = \angle ABC = 90^\circ \)), ta có: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} \] Suy ra: \[ AB^2 = BC \cdot BH \] 3. Chứng minh \( AC^2 = BC \cdot HC \): Tương tự, trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), theo định lý Pythagoras, ta có: \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \] Do \( \triangle AHC \sim \triangle ABC \) (vì có góc chung \( \angle A \) và \( \angle AHC = \angle ABC = 90^\circ \)), ta có: \[ \frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC} \] Suy ra: \[ AC^2 = BC \cdot HC \] Như vậy, ta đã chứng minh được các đẳng thức cần thiết trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( H \).