Cam
Cho tam giác ABC có góc CAB = 90° và có đường phân giác CE (E thuộc AB). Kẻ EH vuông góc với BC (H ∈ BC).
---
1) Tính ∠ABC + ∠BCA
Vì tam giác ABC có góc A = 90°, nên tổng ba góc tam giác là 180°, ta có:
∠ABC + ∠BCA = 180° - ∠CAB = 180° - 90° = \boxed{90°}
---
2) Chứng minh: ∠ACE = ∠BCE và AC = HC
Gợi ý:
Vì CE là đường phân giác của ∠ACB, nên:
∠ACE = ∠BCE \quad \text{(tính chất đường phân giác)}
Vì EH ⊥ BC tại H ⇒ H là chân đường cao từ E xuống BC.
Mặt khác, điểm H là hình chiếu vuông góc của E lên BC. Để chứng minh , ta cần thêm giả thiết bổ sung — tuy nhiên nếu giả sử tam giác ABC vuông tại A và AC là đường cao thì tam giác ABC vuông tại A ⇒ AC ⊥ AB, nhưng A nằm giữa E và B, nên nếu CE là phân giác trong thì điều này có thể chưa đủ thông tin để kết luận AC = HC nếu không có sơ đồ.
Nên với dữ kiện đang có, ta chỉ chứng minh được:
∠ACE = ∠BCE \quad \text{(theo tính chất đường phân giác)}
---
3) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AH và CE. Chứng minh IA = IH
Xét tam giác vuông ABC tại A và đường cao AH kẻ từ A vuông góc với BC, CE là đường phân giác.
Gọi .
Ta cần chứng minh , tức là I cách đều A và H.
Để chứng minh điều này, ta cần xét các tam giác có chứa các đoạn này và chứng minh hai tam giác bằng nhau bằng các trường hợp như cạnh – góc – cạnh (c-g-c) hoặc cạnh – cạnh – cạnh (c-c-c), hoặc chứng minh I nằm trên đường trung trực của đoạn AH.
Do CE là đường phân giác và AH là đường cao, nếu I là giao điểm của chúng trong tam giác vuông tại A, thì tam giác AHI có thể cân tại I trong một số điều kiện đặc biệt, nhưng điều đó chưa thể chứng minh nếu không có thêm dữ kiện hoặc hình vẽ. ⇒ Câu này cần thêm hình để xác định.
---
4) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng BC = 2AM
Vì M là trung điểm của BC ⇒
Xét tam giác vuông ABC tại A:
Gọi M là trung điểm của BC
Khi đó, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.
Tính chất quan trọng:
> Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Nên:
AM = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 2AM \quad \boxed{\text{đpcm}}
---
✅ Tóm lại:
1.
2. (do CE là phân giác)
3. Cần thêm dữ kiện/hình để chứng minh
4. (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)