Cho tứ giác ABCD có góc B + góc D = 180 độ. AC là tia phân giác của góc A. CMR: CB = CD

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ CB = CD $ trong tứ giác $ ABCD $ với điều kiện $ \angle B + \angle D = 180^\circ $ và $ AC $ là tia phân giác của góc $ A $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tứ giác $ ABCD $:
   - Theo giả thiết, ta có $ \angle B + \angle D = 180^\circ $. Điều này có nghĩa là hai góc này là hai góc đối nhau trong tứ giác $ ABCD $.

2. Tính chất của góc đối trong tứ giác:
   - Trong một tứ giác, nếu tổng hai góc đối nhau bằng $ 180^\circ $, thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp. Do đó, tứ giác $ ABCD $ là tứ giác nội tiếp.

3. Tính chất của tứ giác nội tiếp:
   - Trong tứ giác nội tiếp, góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong không kề tại đỉnh đó. Cụ thể, ta có:
     $$
     \angle ACB = \angle ADB
     $$
   - Do $ AC $ là tia phân giác của góc $ A $, ta có:
     $$
     \angle BAC = \angle DAC
     $$

4. Chứng minh $ CB = CD $:
   - Xét hai tam giác $ \triangle ACB $ và $ \triangle ACD $:
     - Ta có $ \angle BAC = \angle DAC $ (do $ AC $ là tia phân giác của góc $ A $).
     - $ \angle ACB = \angle ADB $ (do tính chất của tứ giác nội tiếp).
     - Cạnh chung $ AC $.

- Từ các điều trên, theo trường hợp góc - góc - cạnh (G-G-C), ta có:
     $$
     \triangle ACB \cong \triangle ACD
     $$

- Do hai tam giác này bằng nhau, nên các cạnh tương ứng cũng bằng nhau, cụ thể là:
     $$
     CB = CD
     $$

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $ CB = CD $.