giúp em với nhé

Câu 1: a) $(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$ Ta nhận thấy đây là dạng tích của một hiệu và một tổng bình phương. $(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2) = (2x-3y)[(2x)^2 + 2x \cdot 3y + (3y)^2]$ $= (2x-3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$ $= (2x)^3 - (3y)^3$ $= 8x^3 - 27y^3$ b) $(6x^3+3x^2+4x+2):(3x^2+2)$ Ta thực hiện phép chia đa thức: $6x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = (3x^2 + 2)(2x + 1) + 0$ Vậy thương của phép chia là $2x + 1$. c) $(x+2)^2+(3-x)^2-2(x+3)(x-3)$ Ta mở ngoặc và rút gọn: $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ $(3-x)^2 = 9 - 6x + x^2$ $2(x+3)(x-3) = 2(x^2 - 9) = 2x^2 - 18$ Do đó: $(x+2)^2 + (3-x)^2 - 2(x+3)(x-3) = x^2 + 4x + 4 + 9 - 6x + x^2 - 2x^2 + 18$ $= 2x^2 - 2x^2 + 4x - 6x + 4 + 9 + 18$ $= -2x + 31$ d) $\frac{x+3}{x-2}-\frac{x-3}{x+2}+\frac{x^2+4x+8}{4-x^2}$ Ta quy đồng mẫu số và rút gọn: $\frac{x+3}{x-2} - \frac{x-3}{x+2} + \frac{x^2+4x+8}{4-x^2} = \frac{(x+3)(x+2) - (x-3)(x-2) + (x^2+4x+8)}{(x-2)(x+2)}$ $= \frac{x^2 + 5x + 6 - (x^2 - 5x + 6) + x^2 + 4x + 8}{(x-2)(x+2)}$ $= \frac{x^2 + 5x + 6 - x^2 + 5x - 6 + x^2 + 4x + 8}{(x-2)(x+2)}$ $= \frac{x^2 + 14x + 8}{(x-2)(x+2)}$ $= \frac{x^2 + 14x + 8}{x^2 - 4}$ Câu 2: a) \(6x(4-x)+x-4\) Ta thấy \(6x(4-x)\) có thể viết lại thành \(6x \cdot (4-x)\). Ta cũng thấy \(x-4\) có thể viết lại thành \(-(4-x)\). Do đó, ta có: \[6x(4-x) + x - 4 = 6x(4-x) - (4-x)\] Bây giờ, ta có thể nhóm các hạng tử chung: \[6x(4-x) - (4-x) = (4-x)(6x - 1)\] Vậy, đa thức \(6x(4-x)+x-4\) được phân tích thành nhân tử là: \[6x(4-x)+x-4 = (4-x)(6x - 1)\] b) \(25x^2-10x+1-16z^2\) Ta nhận thấy \(25x^2-10x+1\) là một hằng đẳng thức dạng \((ax+b)^2\): \[25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\] Do đó, ta có: \[25x^2-10x+1-16z^2 = (5x-1)^2 - (4z)^2\] Ta sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \[(5x-1)^2 - (4z)^2 = (5x-1-4z)(5x-1+4z)\] Vậy, đa thức \(25x^2-10x+1-16z^2\) được phân tích thành nhân tử là: \[25x^2-10x+1-16z^2 = (5x-1-4z)(5x-1+4z)\] c) \(x^2-1+x^2y-y\) Ta nhóm các hạng tử chung: \[x^2-1+x^2y-y = x^2(1+y) - (1+y)\] Bây giờ, ta có thể nhóm các hạng tử chung: \[x^2(1+y) - (1+y) = (1+y)(x^2-1)\] Tiếp theo, ta phân tích \(x^2-1\) thành nhân tử: \[x^2-1 = (x-1)(x+1)\] Do đó, ta có: \[(1+y)(x^2-1) = (1+y)(x-1)(x+1)\] Vậy, đa thức \(x^2-1+x^2y-y\) được phân tích thành nhân tử là: \[x^2-1+x^2y-y = (1+y)(x-1)(x+1)\] Câu 3: a) $(x+2)(x-2)-x(x+1)=0$ $(x+2)(x-2)-x(x+1)=0$ $x^{2}-4-x^{2}-x=0$ $-4-x=0$ $x=-4$ Vậy $x=-4$ b) $4x^{2}+4x-3=0$ $4x^{2}+4x-3=0$ $4x^{2}+6x-2x-3=0$ $2x(2x+3)-(2x+3)=0$ $(2x-1)(2x+3)=0$ $2x-1=0$ hoặc $2x+3=0$ $2x=1$ hoặc $2x=-3$ $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$ Vậy $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$ Câu 4: Ta có $A=x^2+4y^2-2x+10+4xy-4y=(x^2+4xy+4y^2)+(-2x-4y)+10$ $=x^2+4xy+4y^2-2(x+2y)+10$ $=(x+2y)^2-2(x+2y)+10$ Vì $x+2y=5$ nên thay vào ta được $A=5^2-2\times 5+10=25-10+10=25$. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác ABMC là hình chữ nhật. - Gọi M là điểm đối xứng của A qua I. Do I là trung điểm của BC, nên BI = IC. - Vì M là điểm đối xứng của A qua I, nên I cũng là trung điểm của AM. - Do đó, IA = IM và AI = IM. - Xét tứ giác ABMC: - Ta có BA vuông góc với BC (vì BA là đường cao), nên góc ABC = 90 độ. - Do I là trung điểm của AM và BC, nên AM // BC. - Vì AM // BC và góc ABC = 90 độ, nên góc AMC = 90 độ. - Từ đó, tứ giác ABMC có hai góc vuông liên tiếp, nên ABMC là hình chữ nhật. b) Tứ giác ADCI là hình gì? Vì sao? - Gọi D là điểm đối xứng của I qua AC. Do đó, AC là trung trực của đoạn ID. - Vì I là trung điểm của BC, nên AC cũng là trung trực của BC. - Do đó, AC là trung trực chung của cả ID và BC. - Xét tứ giác ADCI: - AC là trung trực của ID, nên AD = DI. - AC là trung trực của BC, nên IC = IB. - Từ đó, ADCI là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Tuy nhiên, vì AC là trung trực của cả ID và BC, nên ADCI là hình thoi. c) Chứng minh $HA \cdot AM = MC \cdot CA$. - Vẽ AH vuông góc với BC, ta có AH là đường cao từ A đến BC. - Xét tam giác vuông AHC: - Ta có $AH \cdot AC = HC \cdot CA$ (vì tam giác vuông). - Xét tam giác vuông AMC: - Ta có $AM = 2 \cdot AI$ (vì M là điểm đối xứng của A qua I). - Do đó, $HA \cdot AM = HA \cdot 2 \cdot AI = 2 \cdot (AH \cdot AI)$. - Vì $AH \cdot AI = HC \cdot CA$, nên $HA \cdot AM = 2 \cdot (HC \cdot CA) = MC \cdot CA$. d) Chứng minh $S_{ADC} = 3S_{ADK}$. - Để chứng minh điều này, ta cần so sánh diện tích của hai tam giác ADC và ADK. - Xét tam giác ADC: - Diện tích $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DI \cdot \sin(\angle ACD)$. - Xét tam giác ADK: - Diện tích $S_{ADK} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DK \cdot \sin(\angle ADK)$. - Do D là điểm đối xứng của I qua AC, nên AD = DI. - Đường thẳng BN cắt DC tại K, và N là trung điểm của AC, nên $DK = \frac{1}{3} \cdot DC$. - Từ đó, $S_{ADC} = 3 \cdot S_{ADK}$ vì $DC = 3 \cdot DK$ và các góc tương ứng bằng nhau. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.