giúp tứ với tớ cần gấp ạ BÀI TẬP VỀ NHÀ BUỔI 3 ( DÀNH CHO CÁC BẠN HỌC LỚP NÂNG CAO TOÁN 9 THAY CH,Bài 1. Cho a,b là các số thực không âm cm r. b, Áp dụng :+) Cho x, $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ thoả mãn,$x+y+7=3$,a, Phiên bản 1: (AM-GM Cho hai số ) Tìm GTNN cuả $P=\frac{x^3+y^2+7^3}{2025}$,$a+b\geq2\sqrt{ab}$,Phiên bản 2: 2,$\frac{(\sqrt a+\sqrt b)}2\Rightarrow2\sqrt{ab}$ +) Cho $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ thoả mãn $x+y+z=27$,Phiên bản 3: $ab\leq(\frac{a+b}2)^2$ Tìm GTNN cuả $P=\frac{x^3+y^2+z^3}{27}$,b, Áp dụng Tìm GTNN cuả $+)~Cho~x,y,z\in\mathbb{R}^+~t/m~\frac1x+\frac1y+\frac1z=1$,$P=x^2+y^2$ với $x,y\in\mathbb{R}$ Thoá mãn $x+y=2$ Tìm GTNN cuả,$P=\frac{x^2+y^2}4$ với $x,y\in\mathbb{R}^+$ thoả mãn $x+y=4$ $P=\frac{2025}{x^3}+\frac{2025}{y^3}+\frac{2025}{z^3}$,Bài 2 Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng (CMP),a, Phiên bản 1: $a+b+c\geq3\sqrt[3]{ak}~(1M-G_4~cho~3~nố)$ - THEEND,Phiên bản 2: $(a+b+c)^3\Rightarrow27abc$,Phiên bản 3: $abc\leq(\frac{a+b+c}3)^3$

Question

Accepted Answer

Bài 1:
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như AM-GM và Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài toán:

Bài toán 1: Tìm GTNN của $ P = \frac{x^3 + y^2 + z^3}{2025} $ với $ x, y, z \in \mathbb{R}^+ $ thỏa mãn $ x + y + z = 27 $
Bước 1: Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM
Theo Bất đẳng thức AM-GM:
$$ x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz} $$
Vì $ x + y + z = 27 $, ta có:
$$ 27 \geq 3\sqrt[3]{xyz} $$
$$ 9 \geq \sqrt[3]{xyz} $$
$$ xyz \leq 729 $$
Bước 2: Tìm GTNN của $ P $
Ta cần tìm GTNN của $ P = \frac{x^3 + y^2 + z^3}{2025} $. Ta sẽ sử dụng Bất đẳng thức AM-GM để đánh giá $ x^3 + y^2 + z^3 $.
$$ x^3 + y^2 + z^3 \geq 3\sqrt[3]{x^3 y^2 z^3} $$
$$ x^3 + y^2 + z^3 \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2} $$
$$ x^3 + y^2 + z^3 \geq 3\sqrt[3]{729^2} $$
$$ x^3 + y^2 + z^3 \geq 3\sqrt[3]{531441} $$
$$ x^3 + y^2 + z^3 \geq 3 \times 81 $$
$$ x^3 + y^2 + z^3 \geq 243 $$
Do đó:
$$ P = \frac{x^3 + y^2 + z^3}{2025} \geq \frac{243}{2025} $$
$$ P \geq \frac{27}{225} $$
$$ P \geq \frac{3}{25} $$
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đạt GTNN
Điều kiện đạt GTNN xảy ra khi $ x = y = z $. Vì $ x + y + z = 27 $, ta có:
$$ 3x = 27 $$
$$ x = 9 $$
$$ y = 9 $$
$$ z = 9 $$
Thay vào $ P $:
$$ P = \frac{9^3 + 9^2 + 9^3}{2025} $$
$$ P = \frac{729 + 81 + 729}{2025} $$
$$ P = \frac{1539}{2025} $$
$$ P = \frac{3}{25} $$
Vậy GTNN của $ P $ là $ \frac{3}{25} $, đạt được khi $ x = y = z = 9 $.
Bài toán 2: Tìm GTNN của $ P = \frac{x^2 + y^2}{4} $ với $ x, y \in \mathbb{R}^+ $ thỏa mãn $ x + y = 4 $
Bước 1: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Theo Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ (x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \geq (x + y)^2 $$
$$ (x^2 + y^2) \cdot 2 \geq 16 $$
$$ x^2 + y^2 \geq 8 $$
$$ P = \frac{x^2 + y^2}{4} \geq \frac{8}{4} $$
$$ P \geq 2 $$
Điều kiện đạt GTNN xảy ra khi $ x = y $. Vì $ x + y = 4 $, ta có:
$$ 2x = 4 $$
$$ x = 2 $$
$$ y = 2 $$
$$ P = \frac{2^2 + 2^2}{4} $$
$$ P = \frac{4 + 4}{4} $$
$$ P = \frac{8}{4} $$
$$ P = 2 $$
Vậy GTNN của $ P $ là 2, đạt được khi $ x = y = 2 $.
Bài toán 3: Tìm GTNN của $ P = \frac{2025}{x^3} + \frac{2025}{y^3} + \frac{2025}{z^3} $ với $ x, y, z \in \mathbb{R}^+ $ thỏa mãn $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 $
Bước 1: Áp dụng Bất đẳng thức AM-HM
Theo Bất đẳng thức AM-HM:
$$ \frac{x + y + z}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} $$
$$ \frac{x + y + z}{3} \geq \frac{3}{1} $$
$$ x + y + z \geq 9 $$
Ta cần tìm GTNN của $ P = \frac{2025}{x^3} + \frac{2025}{y^3} + \frac{2025}{z^3} $. Ta sẽ sử dụng Bất đẳng thức AM-GM để đánh giá $ \frac{2025}{x^3} + \frac{2025}{y^3} + \frac{2025}{z^3} $.
$$ \frac{2025}{x^3} + \frac{2025}{y^3} + \frac{2025}{z^3} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2025}{x^3} \cdot \frac{2025}{y^3} \cdot \frac{2025}{z^3}} $$
$$ \frac{2025}{x^3} + \frac{2025}{y^3} + \frac{2025}{z^3} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2025^3}{(xyz)^3}} $$

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.

Bài 2:
Phương pháp giải:
- Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số không âm.

Bài giải chi tiết:
Ta có bất đẳng thức Cosi cho ba số không âm a, b, c:
$$ \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} $$

Nhân cả hai vế với 3, ta được:
$$ a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} $$

Do đó, ta đã chứng minh được bất đẳng thức:
$$ a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} $$

Các phiên bản khác cũng có thể được viết lại dưới dạng tương đương:
$$ (a + b + c)^3 \geq 27abc $$
$$ abc \leq \left(\frac{a + b + c}{3}\right)^3 $$

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh bất đẳng thức Cosi cho ba số không âm.