giải giúp mình câu c

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức theo thứ tự từ a đến e. c. Rút gọn biểu thức \( C = \sqrt{\cos^2\alpha \cdot (1 - \tan^2\alpha)} + \sin^2\alpha \cdot (1 - \cot^2\alpha) \) Điều kiện xác định: \(\cos\alpha \neq 0\) và \(\sin\alpha \neq 0\). Bước 1: Rút gọn \(\sqrt{\cos^2\alpha \cdot (1 - \tan^2\alpha)}\). Ta có: \[ 1 - \tan^2\alpha = 1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \] Do đó: \[ \cos^2\alpha \cdot (1 - \tan^2\alpha) = \cos^2\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \] Vậy: \[ \sqrt{\cos^2\alpha \cdot (1 - \tan^2\alpha)} = \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} \] Bước 2: Rút gọn \(\sin^2\alpha \cdot (1 - \cot^2\alpha)\). Ta có: \[ 1 - \cot^2\alpha = 1 - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \] Do đó: \[ \sin^2\alpha \cdot (1 - \cot^2\alpha) = \sin^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha \] Bước 3: Kết hợp hai phần đã rút gọn. Biểu thức \( C \) trở thành: \[ C = \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} + (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \] Nhận thấy rằng: \[ \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = \pm (\cos\alpha - \sin\alpha) \] Vì \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\) có thể âm hoặc dương, nên ta cần xét dấu của \(\cos\alpha - \sin\alpha\). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể viết: \[ C = (\cos\alpha - \sin\alpha) + (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \] Kết quả cuối cùng: \[ C = 0 \] Vậy, biểu thức \( C \) rút gọn thành \( 0 \).