Ở chính giữa một ống thuỷ tinh nằm ngang, kín cả hai đầu có một cột thuỷ ngân dài h = 19,6 mm. Nếu đặt ống nghiêng một góc 30° so với phươn nằm ngang thì cột thuỷ ngân dịch chuyển một đoạn ∆l1 = 20 mm....

Cho: - Chiều dài cột thuỷ ngân lúc ban đầu: \( h = 19,6 \, mm = 0,0196 \, m \) - Khi ống nghiêng góc \( \alpha = 30^\circ \), cột thuỷ ngân dịch chuyển đoạn: \( \Delta l_1 = 20 \, mm = 0,02 \, m \) - Khi ống thẳng đứng, cột thuỷ ngân dịch chuyển đoạn: \( \Delta l_2 = 30 \, mm = 0,03 \, m \) - Coi nhiệt độ không đổi. **Mục tiêu:** Tính áp suất không khí trong ống khi ống nằm ngang. --- **Phân tích bài toán:** 1. Lúc đầu, ống nằm ngang, chiều dài cột thuỷ ngân là \( h \). 2. Khi ống nghiêng, cột thuỷ ngân dịch chuyển đoạn \( \Delta l_1 \), nghĩa là cột thuỷ ngân thay đổi chiều dài. 3. Khi ống thẳng đứng, cột thuỷ ngân dịch chuyển đoạn \( \Delta l_2 \). --- **Giả thiết và kí hiệu:** - \( p_0 \): áp suất khí quyển bên ngoài. - \( p \): áp suất không khí trong ống khi ống nằm ngang. - \( \rho \): khối lượng riêng thuỷ ngân. - \( g \): gia tốc trọng trường. - \( l \): chiều dài cột thuỷ ngân khi ống nghiêng. - \( l' \): chiều dài cột thuỷ ngân khi ống đứng. --- **Phân tích khi ống nằm ngang:** - Chiều dài cột thuỷ ngân: \( h = 0,0196 \, m \) - Thể tích không khí trong ống: \( V_0 \) - Áp suất không khí trong ống: \( p \) (cần tìm) --- **Khi ống nghiêng góc \( \alpha = 30^\circ \):** - Chiều dài cột thuỷ ngân tăng thêm \( \Delta l_1 = 0,02 \, m \), tức là: \[ l = h + \Delta l_1 = 0,0196 + 0,02 = 0,0396 \, m \] - Chiều dài cột thuỷ ngân thay đổi => thể tích phần không khí thay đổi. --- **Khi ống thẳng đứng:** - Chiều dài cột thuỷ ngân tăng thêm \( \Delta l_2 = 0,03 \, m \), tức là: \[ l' = h + \Delta l_2 = 0,0196 + 0,03 = 0,0496 \, m \] --- **Bước 1: Tính áp suất bên trong khi ống nghiêng** - Khi ống nghiêng, áp suất trong phần không khí bên trong ống thay đổi do dịch chuyển cột thuỷ ngân. - Lực thủy ngân cân bằng áp suất không khí trong ống và khí quyển ngoài: \[ p + \rho g l \cos \alpha = p_0 + \rho g h \] Trong đó: - \( l \cos \alpha \): chiều cao cột thuỷ ngân theo phương thẳng đứng khi ống nghiêng (chiều cao cột thuỷ ngân so với ban đầu). - \( h \): chiều cao cột thuỷ ngân lúc đầu (ống nằm ngang). Giải phương trình trên: \[ p = p_0 + \rho g h - \rho g l \cos \alpha \] --- **Bước 2: Tính áp suất khi ống thẳng đứng** Khi ống thẳng đứng, chiều cao cột thuỷ ngân là \( l' \), áp suất cân bằng là: \[ p + \rho g l' = p_0 + \rho g h \] Giải: \[ p = p_0 + \rho g h - \rho g l' \] --- **Bước 3: Áp dụng định luật khí lí tưởng (nhiệt độ không đổi)** Thể tích không khí thay đổi khi chiều dài cột thuỷ ngân thay đổi. Giả sử tiết diện ống không đổi, thể tích không khí tỉ lệ nghịch với chiều dài phần chứa không khí. Giả sử: - Thể tích không khí khi ống nằm ngang: \( V_0 \) - Thể tích không khí khi nghiêng: \( V_1 \) - Thể tích không khí khi thẳng đứng: \( V_2 \) Như vậy: \[ V_0 = S L_0, \quad V_1 = S L_1, \quad V_2 = S L_2 \] \( S \): tiết diện ống \( L_0, L_1, L_2 \): chiều dài phần không khí tương ứng --- Phần cột thuỷ ngân chiếm chiều dài \( h \) lúc nằm ngang. Khi cột dịch chuyển thêm đoạn \(\Delta l\), chiều dài phần không khí giảm đi tương ứng. Do ống dài cố định, phần không khí thay đổi như: \[ L_0 = L \] \[ L_1 = L - \Delta l_1 \] \[ L_2 = L - \Delta l_2 \] --- Theo định luật Boyle-Mariotte (áp suất \(\times\) thể tích = hằng số, nhiệt độ không đổi): \[ p V_0 = p_1 V_1 = p_2 V_2 \] Kí hiệu \( p_1 \) và \( p_2 \) là áp suất không khí trong ống khi nghiêng và thẳng đứng, tương ứng. Nhưng từ bước 1 và 2 ta có: \[ p_1 = p_0 + \rho g h - \rho g l \cos \alpha \] \[ p_2 = p_0 + \rho g h - \rho g l' \] --- **Kết hợp:** \[ p V_0 = p_1 V_1 \] \[ p V_0 = p_2 V_2 \] Do đó: \[ p = p_1 \frac{V_1}{V_0} = p_1 \frac{L_1}{L_0} \] \[ p = p_2 \frac{V_2}{V_0} = p_2 \frac{L_2}{L_0} \] Hai biểu thức trên bằng nhau: \[ p_1 \frac{L_1}{L_0} = p_2 \frac{L_2}{L_0} \implies p_1 L_1 = p_2 L_2 \] Thay giá trị: \[ \left( p_0 + \rho g h - \rho g l \cos \alpha \right) (L - \Delta l_1) = \left( p_0 + \rho g h - \rho g l' \right) (L - \Delta l_2) \] --- **Bước 4: Tìm \( L \) (chiều dài phần không khí lúc ban đầu) và \( p \) (áp suất không khí trong ống lúc nằm ngang)** Nhưng bài toán không cho chiều dài phần không khí lúc ban đầu. Ta có thể xem \( L \) là 1 tham số và sẽ bị triệt tiêu trong quá trình giải. --- **Tính toán:** Đặt: \[ A = p_0 + \rho g h \] Phương trình trở thành: \[ (A - \rho g l \cos \alpha)(L - \Delta l_1) = (A - \rho g l')(L - \Delta l_2) \] Khai triển: \[ A L - A \Delta l_1 - \rho g l \cos \alpha L + \rho g l \cos \alpha \Delta l_1 = A L - A \Delta l_2 - \rho g l' L + \rho g l' \Delta l_2 \] Triệt tiêu \( A L \) hai bên: \[ - A \Delta l_1 - \rho g l \cos \alpha L + \rho g l \cos \alpha \Delta l_1 = - A \Delta l_2 - \rho g l' L + \rho g l' \Delta l_2 \] Chuyển vế: \[ - \rho g l \cos \alpha L + \rho g l' L = - A \Delta l_2 + A \Delta l_1 + \rho g l' \Delta l_2 - \rho g l \cos \alpha \Delta l_1 \] Lấy \( L \) ra ngoài: \[ \rho g (l' - l \cos \alpha) L = A (\Delta l_1 - \Delta l_2) + \rho g (l' \Delta l_2 - l \cos \alpha \Delta l_1) \] Nhớ rằng: \[ A = p_0 + \rho g h \] Từ đây ta có thể tính \( L \) nếu biết \( p_0 \) và \( \rho \). --- **Giá trị các đại lượng:** - Áp suất khí quyển \( p_0 = 1,013 \times 10^5 \, Pa \) - Khối lượng riêng thuỷ ngân: \( \rho = 13600 \, kg/m^3 \) - Gia tốc trọng trường: \( g = 9,8 \, m/s^2 \) - \( h = 0,0196 \, m \) - \( l = 0,0396 \, m \) - \( l' = 0,0496 \, m \) - \( \alpha = 30^\circ \) nên \( \cos \alpha = \sqrt{3}/2 \approx 0,866 \) - \( \Delta l_1 = 0,02 \, m \) - \( \Delta l_2 = 0,03 \, m \) --- **Tính các thành phần:** \[ l' - l \cos \alpha = 0,0496 - 0,0396 \times 0,866 = 0,0496 - 0,0343 = 0,0153 \, m \] \[ \Delta l_1 - \Delta l_2 = 0,02 - 0,03 = -0,01 \, m \] \[ l' \Delta l_2 = 0,0496 \times 0,03 = 0,001488 \, m^2 \] \[ l \cos \alpha \Delta l_1 = 0,0396 \times 0,866 \times 0,02 = 0,000686 \, m^2 \] \[ l' \Delta l_2 - l \cos \alpha \Delta l_1 = 0,001488 - 0,000686 = 0,000802 \, m^2 \] --- **Tính hằng số:** \[ \rho g (l' - l \cos \alpha) = 13600 \times 9,8 \times 0,0153 = 13600 \times 0,14994 = 2039 \, Pa \] \[ A = p_0 + \rho g h = 1,013 \times 10^5 + 13600 \times 9,8 \times 0,0196 \] Tính: \[ 13600 \times 9,8 \times 0,0196 = 13600 \times 0,192 = 2611 \, Pa \] \[ A = 101300 + 2611 = 103911 \, Pa \] --- **Thay vào phương trình:** \[ 2039 \times L = 103911 \times (-0,01) + 13600 \times 9,8 \times 0,000802 \] Tính từng phần: \[ 103911 \times (-0,01) = -1039.11 \, Pa \cdot m \] \[ 13600 \times 9,8 \times 0,000802 = 13600 \times 0,00787 = 107.0 \, Pa \cdot m \] --- Vậy: \[ 2039 \times L = -1039.11 + 107.0 = -932.11 \, Pa \cdot m \] \[ L = \frac{-932.11}{2039} = -0,457 \, m \] Chiều dài phần không khí âm là vô lý, điều này chứng tỏ giả thiết chưa đầy đủ hoặc sai sót. --- **Phân tích lại:** Có thể bài toán yêu cầu tìm áp suất \( p \) trong ống khi nằm ngang, không cần tính \( L \). Do đó, ta có thể áp dụng cách khác: --- **Cách khác:** Áp dụng định luật Boyle: \[ p V_0 = p_1 V_1 = p_2 V_2 \] Biết: \[ p_1 = p_0 + \rho g (h - l \cos \alpha) \] \[ p_2 = p_0 + \rho g (h - l') \] Thể tích tỉ lệ với chiều dài phần không khí, do đó: \[ \frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{L - \Delta l_2}{L - \Delta l_1} \] \[ p_1 (L - \Delta l_1) = p_2 (L - \Delta l_2) \] Giải lấy \( L \): \[ p_1 L - p_1 \Delta l_1 = p_2 L - p_2 \Delta l_2 \Rightarrow (p_1 - p_2) L = p_1 \Delta l_1 - p_2 \Delta l_2 \] Thay số: \[ p_1 - p_2 = \rho g [ (h - l \cos \alpha) - (h - l') ] = \rho g (l' - l \cos \alpha) = 2039 \, Pa \] \[ p_1 \Delta l_1 - p_2 \Delta l_2 = p_1 \times 0,02 - p_2 \times 0,03 \] Chưa biết \( p_1 \) và \( p_2 \) chính xác. --- **Giải thích:** Nhìn lại, khi ống nằm ngang, áp suất trong ống là \( p \), thể tích là \( V_0 \). Khi ống nghiêng: - Áp suất không khí là \( p_1 \) - Thể tích không khí giảm do thuỷ ngân dịch chuyển: \( V_1 = V_0 - S \Delta l_1 \) Áp dụng Boyle: \[ p V_0 = p_1 (V_0 - S \Delta l_1) \] \[ p = p_1 \left(1 - \frac{S \Delta l_1}{V_0} \right) \] Tương tự với ống thẳng đứng: \[ p V_0 = p_2 (V_0 - S \Delta l_2) \Rightarrow p = p_2 \left(1 - \frac{S \Delta l_2}{V_0} \right) \] Hai biểu thức bằng nhau: \[ p_1 \left(1 - \frac{S \Delta l_1}{V_0} \right) = p_2 \left(1 - \frac{S \Delta l_2}{V_0} \right) \] Giải lấy \( \frac{S}{V_0} = \frac{1}{L} \), với \( L \) là chiều dài phần không khí lúc đầu: \[ p_1 \left(1 - \frac{\Delta l_1}{L} \right) = p_2 \left(1 - \frac{\Delta l_2}{L} \right) \] \[ p_1 - p_1 \frac{\Delta l_1}{L} = p_2 - p_2 \frac{\Delta l_2}{L} \] \[ p_1 - p_2 = \frac{1}{L} (p_1 \Delta l_1 - p_2 \Delta l_2) \] \[ L = \frac{p_1 \Delta l_1 - p_2 \Delta l_2}{p_1 - p_2} \] --- **Tính \( p_1 \) và \( p_2 \):** \[ p_1 = p_0 + \rho g (h - l \cos \alpha) \] \[ p_2 = p_0 + \rho g (h - l') \] Tính: \[ h - l \cos \alpha = 0,0196 - 0,0396 \times 0,866 = 0,0196 - 0,0343 = -0,0147 \, m \] \[ h - l' = 0,0196 - 0,0496 = -0,03 \, m \] --- \[ p_1 = 1,013 \times 10^5 + 13600 \times 9,8 \times (-0,0147) = 101300 - 1962 = 99 338 \, Pa \] \[ p_2 = 1,013 \times 10^5 + 13600 \times 9,8 \times (-0,03) = 101300 - 3998 = 97 302 \, Pa \] --- **Tính \( L \):** \[ L = \frac{p_1 \Delta l_1 - p_2 \Delta l_2}{p_1 - p_2} = \frac{99 338 \times 0,02 - 97 302 \times 0,03}{99 338 - 97 302} \] Tính tử số: \[ 99 338 \times 0,02 = 1986.76 \] \[ 97 302 \times 0,03 = 2919.06 \] \[ 1986.76 - 2919.06 = -932.3 \] Tính mẫu số: \[ 99 338 - 97