giúp cau. trong ảnh Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.,a) Biết $BH=4~cm,~CH=2~cm.$ Tính độ dài AH, AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).,b) Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh $\cos^3B=\frac{BD}{BC}.$,c) Gọi M là trung điểm của HC và N là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh $MC^3=\frac12.NC^2.BC.$

Question

Accepted Answer

Bài 4:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Tính độ dài AH, AB

Bước 1: Tính độ dài AH

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, với đường cao AH, ta có công thức liên quan đến các đoạn thẳng trên đường cao:

$$ AH^2 = BH \times CH $$

Thay số vào, ta có:

$$ AH^2 = 4 \times 2 = 8 $$

Do đó:

$$ AH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.8 \, \text{cm} $$

Bước 2: Tính độ dài AB

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có:

$$ AB^2 = AH^2 + BH^2 $$

Thay số vào, ta có:

$$ AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 = 8 + 16 = 24 $$

Do đó:

$$ AB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4.9 \, \text{cm} $$

b) Chứng minh $\cos^3B=\frac{BD}{BC}$

Bước 1: Xác định các đoạn thẳng BD và BC

Do D là chân đường vuông góc từ H xuống AB, nên HD là một đoạn vuông góc với AB. Trong tam giác vuông ABH, ta có:

$$ \cos B = \frac{BH}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} $$

Bước 2: Chứng minh $\cos^3B=\frac{BD}{BC}$

Ta có:

$$ \cos^3 B = \left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^3 = \frac{8}{6\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{18} = \frac{2\sqrt{6}}{9} $$

Vì $BD = BH \cdot \cos B = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{6}}$, và $BC = BH + CH = 4 + 2 = 6$, ta có:

$$ \frac{BD}{BC} = \frac{\frac{8}{\sqrt{6}}}{6} = \frac{8}{6\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{18} = \frac{2\sqrt{6}}{9} $$

Vậy $\cos^3 B = \frac{BD}{BC}$.

c) Chứng minh $MC^3=\frac12.NC^2.BC$

Bước 1: Xác định các đoạn thẳng MC và NC

M là trung điểm của HC, do đó:

$$ MC = \frac{HC}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, \text{cm} $$

N là hình chiếu của M trên AC, do đó NC là một đoạn vuông góc với AC.

Bước 2: Chứng minh $MC^3=\frac12.NC^2.BC$

Ta có:

$$ MC^3 = 1^3 = 1 $$

Và:

$$ NC = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$

Do đó:

$$ NC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 $$

Vì BC = 6, ta có:

$$ \frac{1}{2} \cdot NC^2 \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6 $$

Như vậy, $MC^3 = \frac{1}{2} \cdot NC^2 \cdot BC$.

Vậy, bài toán đã được giải quyết hoàn chỉnh.